Question

【题目】在等腰中，，作的平分线交于点，将绕点旋转，使的两边交直线于点，交直线于点．

（1）当绕点旋转到如图①的位置时，请直接写出三条线段的数量关系；

（2）当绕点旋转到如图②的位置时，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；

（3）若，当时，请直接写出线段的长度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不成立，应为，见解析；（3） 或

【解析】

（1）结论：AE+CF=AD．如图1中，作DH⊥BC于H．证明△DAE≌△DHF（ASA），即可解决问题．
（2）结论不成立．应为CF-AE=AD．如图②中，作DG⊥BC于点G，证明△DAE≌E△DGF（ASA），即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解：①如图③-1中，作DH⊥BC于H．求出AD=DH=CH=1，利用（1）中结论即可解决问题．②如图③-2中，当∠CDF=15°时，作DH⊥BC于H，求出FH=即可解决问题．

（1）结论：AE+CF=AD．
理由：如图1中，作DH⊥BC于H．

∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，
∵∠A=∠DHB=90°，
∴∠ADH=360°-90°-90°-45°=135°，
∵∠EDF=135°，
∴∠ADH=∠EDF，
∴∠ADE=∠HDF，
∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DH⊥BC，
∴DA=DH，
∴△DAE≌△DHF（ASA），
∴AE=HF，
∵∠C=∠HDC=45°，
∴DH=CH=AD，
∴AE+CF=HF+CF=CH=AD．

（2）不成立 应为

理由如下：作于点,

∵

∴

∵平分

∴

∵

∴ ∠ABC=∠ACB=45°

∴ ∠ADG=360°-90°-90°-45°=135°

∵＝135°

∴

又∵

∴

∴

∵

∴

∴，

∵

∴

（3）①如图③-1中，作DH⊥BC于H．

由（1）可知：DA=DH=CH，设DA=DH=HC=a，则CD=a，AB=AC=BH=a+a，
∴2a+a=2+，
∴a=1，
∴AD=1，
∵∠CDF=15°，
∴∠ADE=180°-135°-15°=30°，
∴AE=，
∵AE+CF=AD，
∴CF=1-
②如图③-2中，当∠CDF=15°时，作DH⊥BC于H，

∵AD=DH═CH=1，∠CFD=30°，
∴FH=DH=，
∴CF=FH-CH=-1
综上所述，满足条件的CF的值为 或