Question

如图，已知△OAB的顶点A（-6，0），B（0，2），O是坐标原点，将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．
（1）写出C，D两点的坐标；
（2）求过A，D，C三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标；
（3）证明AB⊥BE．

Answer 1

（1）∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC，
∴△ODC≌△OAB，
∴OC=OB=2，OD=OA=6，
∴C（2，0），D（0，6）；

（2）∵抛物线过点A（-6，0），C（2，0），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x-2）（a≠0），
∵D（0，6）在抛物线上，
∴6=-12a，
解得a=-

1

2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

（x+6）（x-2），即y=-

1

2

x²-2x+6，
∵y=-

1

2

x²-2x+6=-

1

2

（x+2）²+8，
∴顶点E的坐标为（-2，8）；

（3）连接AE．
∵A（-6，0），B（0，2），E（-2，8），
∴AB²=6²+2²=40，BE²=（-2-0）²+（8-2）²=40，AE²=（-2+6）²+（8-0）²=80，
∴AB²+BE²=AE²，
∴AB⊥BE．