Question

如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEB+∠BEA=90°。
∴∠BAE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。
（2）△ABH∽△ECM。证明如下：
∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°。∴∠ABH=∠ECM。
由（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM。
（3）作MR⊥BC，垂足为R，

∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°。
∴∠MER=45°，CR=2MR。
∴MR=ER=。∴EM=。

（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ABE∽△ECF。（2）由BG⊥AC，易证得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可证得△ABH∽△ECM。
（3）首先作MR⊥BC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的长，又由EM= 即可求得答案。