Question

如图，在等边△ABC中，D是BC边上异于B、C的一点，F是BC的延长线上的一点，∠ADE=60°，∠ACF的平分线CE交DE于E，连接AE，设AB=1，AD=a，CD=mCE=n．

（1）DE=

 

（直接填空）；
（2）m+n=

 

（直接填空）；
（3）设△ADE的面积为S，则S的最小值是

 

（直接填空）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）过D作DG∥AC交AB于G，得出∠3=∠1，再利用AAS得出△AGD≌△DCE，进而得出答案；
（2）延长CE至P，使EP=CD，连接AP，利用等边三角形的性质得出AD=AE，进而得出∠ADC=∠AEP，再利用SAS得出△AEP≌△ADC得出即可；
（3）利用当边长AD最短时，△ADE的面积有最小值，而点A到BC所在的直线上的各点的连线中，以垂线段最短，故当AD⊥BC时，AD最短，进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案．

解答：证明：（1）过D作DG∥AC交AB于G，
则∠1=∠2，△GDB为等边三角形，
∠AGD=∠DCE=120°，AG=DC．
又∵∠ADE=∠ACE=60°，∠4=∠5，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠1．
在△AGD和△DCE中，

∠3=∠1 ∠AGD=∠DCE AG=DC

，
∴△AGD≌△DCE（AAS），
∴AD=DE=a．
故答案为：a；

（2）延长CE至P，使EP=CD，连接AP．由（1）知，
∠ADE=60°，AD=DE，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD=AE．　
在四边形ADCE中，∠DAE+∠DCE=60°+120°=180°，
∴∠ADC+∠AEC=180°，又∠AEP+∠AEC=180°，
∴∠ADC=∠AEP，
在△AEP和△ADC中，

AE=AD ∠AEP=∠ADC EP=DC

，
∴△AEP≌△ADC（SAS），
∴AP=AC∠P=∠ACD=60°，
∴△ACP为等边三角形，
∴AC=CP，
∴AC=CP=CE+PE=CE+CD=n+m，
∴m+n=AC=1；
故答案为：1；

（3）因为△ADE为等边三角形，
当边长AD最短时，△ADE的面积有最小值．
而点A到BC所在的直线上的各点的连线中，以垂线段最短，
故当AD⊥BC时，AD最短，
此时 AD=

AB2-BD2

=

1-( 1 2 )2

=

3

2

，
Smin=

3

4

AD2=

3 3

16

．
故答案为：

3 3

16

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，正确得出辅助线是解题关键．