Question

如图1，抛物线y=ax²+bx（a≠0）与双曲线y=

k

x

相交于点A、B．已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内且纵坐标为4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线y=ax²+bx的对称轴上有一点Q，设w=BQ²+AQ²，试求出使w的值最小的点Q的坐标；
（3）在图1的基础上，点D是x轴上一点，且OD=4，连接CD、AD（如图2），直线CD交y轴于点M，连接AM，动点P从点C出发，沿折线CAD方向以1个单位/秒的速度向终点D匀速运动，设△PMA的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点B的坐标代入双曲线解析式求出k值，再求出点A的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据二次函数解析式求出对称轴为直线x=-

3

2

，得到点Q的横坐标，然后设出点Q的坐标，再利用勾股定理列出w的表达式，整理成顶点式形式，然后写出w最小值时的Q的坐标即可；
（3）先利用二次函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线CD的解析式，令x=0求出点M的坐标，再分①点P在AC上时，表示出AP，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解；②点P在AD上时，利用勾股定理列式求出AD，得到AD=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质得到AM平分∠CAD，过点M作MN⊥AD于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得MN等于点M到AC的距离，再表示出AP，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵双曲线y=

k

x

经过点B（-2，-2），
∴

k

-2

=-2，
解得k=4，
∴双曲线的解析式为y=

4

x

，
∵点A的纵坐标为4，
∴

4

x

=4，
解得x=1，
∴点A（1，4），
把点A、B代入抛物线y=ax²+bx（a≠0）得，

a+b=4 4a-2b=-2

，
解得

a=1 b=3

，
∴抛物线的解析式为y=x²+3x；

（2）抛物线的对称轴为直线x=-

3

2×1

=-

3

2

，
∵点Q在抛物线对称轴上，
∴设点Q（-

3

2

，m），
则w=BQ²+AQ²，
=[-

3

2

-（-2）]²+[m-（-2）]²+（-

3

2

-1）²+（m-4）²，
=

1

4

+m²+4m+4+

25

4

+m²-8m+16，
=2m²-4m+26.5，
=2（m-1）²+24.5，
∵a=2＞0，
∴当m=1时，w有最小值24.5，
此时点Q的坐标为（-

3

2

，1）；

（3）∵直线AC∥x轴，A（1，4），
∴x²+3x=4，
解得x₁=1，x₂=-4，
∴点C的坐标为（-4，4），
∵OD=4，
∴点D的坐标为（4，0），
设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-4k+b=4 4k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=2

，
∴直线CD的解析式为y=-

1

2

x+2，
当x=0时，y=2，
∴点M的坐标为（0，2），
∴点M到AC的距离为4-2=2，
∵点P的速度是1个单位/秒，
∴①点P在AC上时，AC=1-（-4）=1+4=5，
AP=AC-CP=5-t，
△PMA的面积为S=

1

2

（5-t）×2=-t+5（0≤t＜5），
②点P在AD上时，AD=

(1-4)2+(4-0)2

=5，
∴AC=AD=5，
∵C（-4，4），D（4，0），
∴点M是CD的中点，
∴AM平分∠CAD，
过点M作MN⊥AD于N，则MN=点M到AC的距离=2，
∵AP=t-AC=t-5，
∴△PMA的面积为S=

1

2

（t-5）×2=t-5（5＜t≤10），
综上所述，S与t之间的函数关系式为S=

-t+5(0≤t＜5) t-5(5＜t≤10)

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要涉及反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，二次函数的最值问题，以及三角形的面积，（2）设出点Q的坐标，利用勾股定理列出算式是解题的关键，（3）根据点的坐标求出AC=AD，点M是CD的中点是解题的关键，难点在于要分情况讨论．