题目内容
【题目】如图，在顶点为P的抛物线
的对称轴l上取
，过A作
交抛物线于B,C两点(B在C左侧)，点
和点A关于点P对称，过作
，又分别过B,C作
，垂足为E,D，在这里我们把点A叫抛物线的焦点，BC叫抛物线的直径，矩形BCDE叫抛物线的焦点矩形．
(1)直接写出抛物线
的焦点坐标及其直径；
(2)求抛物线
的焦点坐标及其直径；
(3)已知抛物线的直径为
，求a的值；
(4)①已知抛物线
的焦点矩形的面积为2，求a的值；
②直接写出抛物线的焦点矩形与抛物线
有两个公共点时m的取值范围．
【答案】(1) (0，1)，4；(2) (3，3)，4；(3)
；(4)①
；②
或
【解析】
(1)根据题意可以求得抛物线
的焦点坐标及其直径；
(2)根据题意可以求得抛物线
的焦点坐标及其直径；
(3)根据题意和抛物线
的直径为
，列方程即求a的值；
(4)①根据题意和抛物线
的焦点矩形的面积为2，列方程即求
的值；
②根据(2)中的结果和图形可以求得抛物线的焦点矩形与抛物线
有两个公共点时m的取值范围．
(1)∵抛物线中，
，
，
，
∴此抛物线焦点的横坐标是，，纵坐标是：
，
∴抛物线的焦点坐标为(0，1)，
将
代入得：
，
∴此抛物线的直径是：
；
(2)∵抛物线中，，
，
，
∴此抛物线焦点的横坐标是，，纵坐标是：
，
∴抛物线的焦点坐标为(3，3)，
将
代入得：
，
∴此抛物线的直径是：
；
(3)∵抛物线的焦点为A(
，
)，
∴
，
解得：
，
∴此抛物线的直径是：
；
解得：
，
∴的值是
；
(4)设抛物线解析式为：，
①由(3)得，BC
，
焦点为A(，)，顶点为P(，
)，
∴
，
根据题意：
，
解得：
，
∴的值是；
②当 或时，有两个公共点，
理由：由(2)知抛物线的焦点矩形顶点坐标分别为：
B(1，3)，C(5，3)，E(1，1)，D(5，1)，
当
过B(1，3)时，
解得：
或
(舍去)，
过C(5，3)时，
或
(舍去)，
由图可知，公共点个数随m的变化关系为：
当
时，无公共点；
当时，1个公共点；
当
时，2个公共点；
当
时，3个公共点；
当
时，有2个公共点；
当时，1个公共点；
当
时，无公共点；
由上可得，当或时，有2个公共点．
【题目】疫情期间，某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如下表所示：
进价（元/个） | 售价（元/个） | 销量（个/日） | |
A型 | 400 | 600 | 200 |
B型 | 800 | 1200 | 400 |
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天获得的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于212000元，求出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐助a元
给受“新冠疫情”影响的困难学生，若当30≤x≤40时，每天的最大利润为203400元，求a的值．
