题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,已知矩形中的点,抛物线经过原点和点,并且有最低点分别在线段上,且,直线的解析式为,其图像与抛物线在轴下方的图像交于点

1)求抛物线的解析式;

2)当时,求的取值范围;

3)在线段上是否存在点,使得,若存在,请求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2);(3)

【解析】

1)设抛物线的解析式为:,根据待定系数法,即可得到答案;

2)根据抛物线的对称性,得,从而得,进而得,过点,与交于点,求出点H的坐标,进而得:直线的解析式为,然后求出直线,联立一次函数与二次函数解析式,可得点D的坐标,进而即可得到答案;

3)先证点四点共圆,可得,作的垂直平分线交直线于点,连接,则,作的垂直平分线交直线于点,则,此时,进而可求出点M的坐标.

1)设抛物线的解析式为:

由题意可得:,且抛物线经过原点,

,解得

抛物线的解析式为:

2)由(1)可知抛物线的对称轴为:直线,点与点关于直线对称,

过点,与交于点,如图1

,即:

设直线的解析式为:

直线的解析式为:

∵当时,求得

直线

,解得:(舍去),

∵当时,从图像可得:直线在抛物线的上方且都在轴的下方才满足条件,

的取值范围为:

3

∵四边形是矩形,

四点共圆,

的垂直平分线交直线于点,连接,则,如图2

,则,解得

的垂直平分线交直线于点,则,如图2

,解得:

综上所述,点的坐标为

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