题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知矩形中的点
,抛物线
经过原点
和点
,并且有最低点
点
,
分别在线段
,
上,且
,
,直线
的解析式为
,其图像与抛物线在
轴下方的图像交于点
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当时,求
的取值范围;
(3)在线段上是否存在点
,使得
,若存在,请求出点
的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)设抛物线的解析式为:,根据待定系数法,即可得到答案;
(2)根据抛物线的对称性,得,从而得
,进而得
,过点
作
,与
交于点
,求出点H的坐标,进而得:直线
的解析式为
,然后求出直线
,联立一次函数与二次函数解析式,可得点D的坐标,进而即可得到答案;
(3)先证点,
,
,
四点共圆,可得
,作
的垂直平分线交直线
于点
,连接
,则
,
,作
的垂直平分线交直线
于点
,则
,
,此时
,进而可求出点M的坐标.
(1)设抛物线的解析式为:,
由题意可得:,
,且抛物线经过原点,
,解得
,
抛物线的解析式为:
;
(2)由(1)可知抛物线的对称轴为:直线,点
与点
关于直线
对称,
,
.
,
,
,
,
,
.
过点作
,与
交于点
,如图1,
,
,即:
,
设直线的解析式为:
,
,
,
直线
的解析式为:
,
∵当时,求得
,
,
∵
直线
,
∵,解得:
,
(舍去),
,
∵当时,从图像可得:直线在抛物线的上方且都在
轴的下方才满足条件,
∴的取值范围为:
;
(3),
,
,
,
,
,
,
,
∵四边形是矩形,
∴,
,
点
,
,
,
四点共圆,
,
作的垂直平分线交直线
于点
,连接
,则
,
,如图2,
,
设,则
,解得
,
作的垂直平分线交直线
于点
,则
,
,如图2,
∵,
∴,
,
,解得:
,
,
综上所述,点的坐标为
.
图1 图2

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