题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过原点,顶点为,且与直线相交于两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求两点的坐标;

(3)若点轴上的一个动点,过点轴与抛物线交于点,则是否存在以为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2);(3);坐标为.

【解析】

1)可设顶点式,把原点坐标代入可求得抛物线解析式,
2)联立直线与抛物线解析式,可求得C点坐标;
3)设出N点坐标,可表示出M点坐标,从而可表示出MNON的长度,当△MON和△ABC相似时,利用三角形相似的性质可得,可求得N点的坐标

解:(1)∵顶点坐标为

∴设抛物线解析式为

又抛物线过原点,∴

解得:

∴抛物线解析式为:

.

(2)联立抛物线和直线解析式可得

解得:

(3)存在;坐标为.

理由:假设存在满足条件的点

,则

由(2)知,

轴于点

∴当相似时,有

①当时,

,即

∵当不能构成三角形,

解得:

此时点坐标为:

②当时,

解得:

此时点坐标为:

综上可知,在满足条件的点,其坐标为:.

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