题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过原点,顶点为
,且与直线
相交于
两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求、
两点的坐标;
(3)若点为
轴上的一个动点,过点
作
轴与抛物线交于点
,则是否存在以
为顶点的三角形与
相似?若存在,请直接写出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
,
;(3);坐标为
或
或
或
.
【解析】
(1)可设顶点式,把原点坐标代入可求得抛物线解析式,
(2)联立直线与抛物线解析式,可求得C点坐标;
(3)设出N点坐标,可表示出M点坐标,从而可表示出MN、ON的长度,当△MON和△ABC相似时,利用三角形相似的性质可得或
,可求得N点的坐标
解:(1)∵顶点坐标为,
∴设抛物线解析式为,
又抛物线过原点,∴,
解得:,
∴抛物线解析式为:,
即.
(2)联立抛物线和直线解析式可得,
解得:或
,
∴,
;
(3)存在;坐标为或
或
或
.
理由:假设存在满足条件的点,
设,则
,
∴,
,
由(2)知,,
,
∵轴于点
,
∴,
∴当和
相似时,有
或
,
①当时,
∴,即
,
∵当时
、
、
不能构成三角形,
∴,
∴,
∴,
解得:或
,
此时点坐标为:
或
;
②当时,
∴,
即,
∴,
∴,
解得:或
,
此时点坐标为:
或
,
综上可知,在满足条件的点,其坐标为:
或
或
或
.

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