题目内容

【题目】如图,在等边三角形ABC中,AB=6,点P是AB边上的任意一点(点P不与点A、点B重合),过点P作PD⊥AB,交直线BC于点D,作PE⊥AC,垂足为点F.

(1)求∠APE的度数;
(2)连接DE,当△PDE为等边三角形时,求BP的长.

【答案】
(1)解:∵△ABC为等边三角形,

∴∠A=∠B=∠C=60°,

∵PE⊥AC,

∴∠AEP=90°,

∴∠APE=180°﹣∠A﹣∠AEP=180°﹣60°﹣90°=30°


(2)解:设BP=x,则AP=6﹣x,

在Rt△BPD中,PD=BPtan60°= x,在Rt△APE中,PE=APsin60°=

∵△PDE为等边三角形,

∴PD=PE,

= (6﹣x),

解得:x=2,

∴当△PDE为等边三角形时,BP的长为2


【解析】(1)利用等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠C=60°,在利用垂直的定义和三角形内角和定理可得结果;(2)设BP=x,根据等边三角形的性质,利用三角函数,易得PD= x,在Rt△APE中,PE=APsin60°= ,利用等边三角形的性质可得PE=PD,建立等量关系,解得x.
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质的相关知识点,需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能正确解答此题.

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