Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）求AD的长．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），
∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），
∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），
又AD是△ABC的∠BAC的平分线（已知），
∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），
∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，

CD=ED AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；

（2）∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，
∴根据勾股定理得：AB=

52+122

=13，
由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，
设CD=DE=x，则DB=BC-CD=12-x，EB=AB-AE=AB-AC=13-5=8，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD²=BE²+ED²，
即（12-x）²=x²+8²，
解得：x=

10

3

，
∴CD=

10

3

，又AC=5，△ACD为直角三角形，
∴根据勾股定理得：AD=

AC2+CD2

=

5 13

3

．