Question

【题目】（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与⊙M相交于A、B、C、D四点．其中AB两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点D在轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1．5．

（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；

（2）若点P是轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，0），；（2）P（2，0）；

（3）Q（，），Q（，-），Q（，-4），∴Q（，-）．

【解析】

试题分析：（1）根据题意，设点M的坐标为（，0），根据两点间的距离公式（半径相等）可以求得，则点D的坐标为（4，0），这样就可以根据交点式来求解抛物线的解析式：=；

（2）要在轴上的找到一点P，使得⊿PEF的周长最小，我们先来看E，F两点，这是两个定点，也就是说EF的长度是不变的，那实际上这个题目就是求PE+PF的最小值，这就变成了轴对称问题中最为经典的“放羊问题”，要解决这一问题首先我们看图中有没有E或F的对称点，根据题意，显然是有E点的对称点B的，那么连接BF与轴的交点就是我们要求的点P（2，0）；

（3）首先点M本身就在抛物线对称轴上，其坐标为；点C是点B关于抛物线对称轴的对称点，所以点C的坐标为（3，-2）；求Q点的坐标，根据题意可设Q点为（）．⊿QCM是等腰三角形，则可能有三种情况，分别是QC=MC；QM=MC；QC=QM．根据这三种情况就能求得Q点的坐标可能是或或．

试题解析：（1）∵A（-1，0），B（0，-2）

∴OE=OB=2，OA=1，

∵AD是⊙M的直径，

∴OE·OB=OA·OD，

即：2=1·OD，OD=4，

∴D（4，0），

把A（-1，0），B（0，-2），D（4，0）代入得：

，即

该抛物线的表达式为：．

连接AF，DF，

∵FH⊥AD于点H，AD为直径

∴△AFH∽△FDH，

∴HF=DH·AH，

∵E点与B点关于点O对称，

根据轴对称的性质，连接BF交x轴于点P，

∵A（-1，0），D（4，0），

∴AD=5，

设DH=x，则AH=5-x，

即1．5=x（5-x），

5x-x=，

4x-20x+9=0，

（2x-1）（2x-9）=0，

由AH＞DH，

∴DH=，

∴OH=OD-DH=，

∴F（3．5，1．5），

设直线BF的解析式为，

则3．5k+b=1．5；b=-2，

则k=1，b=-2，

∴y=x-2，

令y=0，则x=-2，

∴P（2，0）

（3）Q（，），Q（，-），Q（，-4），∴Q（，-）．