题目内容
【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8.动点E,F同时分别从点A,B出发,分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动,连接EF,以EF为直径作⊙O交射线BD于点M,设运动的时间为t.
(1)当点E在线段AD上时,用关于t的代数式表示DE,DM.
(2)在整个运动过程中,
①连结CM,当t为何值时,△CDM为等腰三角形.
②圆心O处在矩形ABCD内(包括边界)时,求t的取值范围,并直接写出在此范围内圆心运动的路径长.
【答案】(1)(1)ED=8﹣t,MD=.(2)①t=或t=或t=;②0≤t≤,圆心运动的路径长为
【解析】
(1)在Rt△ABD中,依据勾股定理可求得BD的长,然后依据MD=EDcos∠MDE,cos∠MDE=cos∠ADB=,由此即可解决问题.
(2)①可分为点E在AD上,点E在AD的延长线上画出图形,然后再依据MC=MD,CM=CD、DM=DC三种情况求解即可;
②当t=0时,圆心O在AB边上.当圆心O在CD边上时,过点E作EH∥CD交BD的延长线与点H.先求得DH的长,然后依据平行线分线段成比例定理可得到DF=DH,然后依据DF=DH列出关于t的方程,从而可求得t的值,故此可得到t的取值范围.
解:(1)如图1所示:连接ME.
∵AE=t,AD=8,
∴ED=AD-AE=8-t.
∵EF为⊙O的直径,
∴∠EMF=90°.
∴∠EMD=90°.
∴MD=EDcos∠MDE=.
(2)①a、如图2所示:连接MC.
当DM=CD=6时,=6,解得t=;
b、如图3所示:当MC=MD时,连接MC,过点M作MN⊥CD,垂足为N.
∵MC=MD,MN⊥CD,
∴DN=NC.
∵MN⊥CD,BC⊥CD,
∴BC∥MN.
∴M为BD的中点.
∴MD=5,即=5,解得t=;
c、如图4所示:CM=CD时,过点C作CG⊥DM.
∵CM=CD,CG⊥MD,
∴GD=MD=.
∵,
∴DG=CD=.
∴=.
解得:t=-1(舍去).
d、如图5所示:当CD=DM时,连接EM.
∵AE=t,AD=8,
∴DE=t-8.
∵EF为⊙O的直径,
∴EM⊥DM.
∴DM=EDcos∠EDM=.
∴=6,解得:t=.
综上所述,当t=或t=或t=时,△DCM为等腰三角形.
②当t=0时,圆心O在AB边上.
如图6所示:当圆心O在CD边上时,过点E作EH∥CD交BD的延长线与点H.
∵HE∥CD,OF=OE,
∴DF=DH.
∵DH==,DF=10-t,
∴=10-t.
解得:t=.
综上所述,在整个运动过程中圆心O处在矩形ABCD内(包括边界)时,t的取值范围为0≤t≤.
此时点O的运动路径为OO1的长度,如图:
过点O作OM⊥AB
当t=时,DE=-8=
∵EH∥CD,AB∥CD
∴EH∥AB
∴△DEH∽△DAB
∴,即,解得EH=
∴OD=EH=
由题意可知四边形ADOK是矩形
∴AK= OD =,OK=AD=8
∴O1K= O1A- AK=
在Rt△OKO1中,OO1=
∴圆心运动的路径长为.
【题目】参照学习函数的过程与方法,探究函数的图象与性质.因为,即,所以我们对比函数来探究.
列表:
… | -4 | -3 | -2 | -1 | 2 | 3 | 4 | … | ||||
… | 1 | 2 | 4 | -4 | -1 | … | ||||||
… | 2 | 3 | 5 | -3 | -1 | 0 | … |
描点:在平面直角坐标系中,以自变量的取值为横坐标,以相应的函数值为纵坐标,描出相应的点,如图所示:
(1)①请补全表格,计算__________.
②请补全图形,用一条光滑曲线顺次连接起来;
(2)观察图象并分析表格,回答下列问题:
①当时,随的增大而__________;(填“增大”或“减小”)
②的图象是由的图象向__________平移__________
③图象关于点__________中心对称.(填点的坐标)
(3)结合函数图象,当时,求的取值范围.