题目内容
如图，在直角坐标系中，抛物线与坐标轴分别交于A（0，3），B（
，0），C（3
，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切于点E，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．
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（1）求该抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切于点E，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．
（1）设y=ax2+bx+c（a≠0），
将点A（0，3），B（
，0），C（3
，0）代入得：
，
解得：
，
故二次函数解析式为：y=
x2-
x+3；
（2）抛物线的对称轴与⊙C相切；
理由：如图1，过点C作CE⊥BD，垂足为E，
在Rt△OAB中，
∵OB=
，OA=3，OC=3
∴AB=2
，BC=2
，
∴AB=BC，
又∵∠ABD=90°，
∴∠OBA+∠EBC=90°，
又∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
在△OAB和△EBC中，
，
∴△OAB≌△EBC（AAS），
∴CE=OB=
；
∵抛物线的对称轴为：x=2
，
∴点C到对称轴的距离为：
，
∴抛物线的对称轴与⊙C相切；
（3）设AC为y=kx+b′
将A（0，3），C（3
，0）代入得：
，
解得：
，
∴AC所在直线解析式为：y=-
x+3，
如图2，过点P作x轴的垂线，交AC于点P′，连接AP，PC，
则PP′=-
x+3-
x2+
x-3
=-
x2+
x
=-
（x-
）2+
，
∴当x=
时，△PAC的面积最大，最大值为：
×PP′×CO=
，
当x=
时，y=
x2-
x+3=-
，
此时，点P坐标为（
，-
）．
将点A（0，3），B（
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解得：
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故二次函数解析式为：y=
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（2）抛物线的对称轴与⊙C相切；
理由：如图1，过点C作CE⊥BD，垂足为E，
在Rt△OAB中，
∵OB=
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∴AB=2
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∴AB=BC，
又∵∠ABD=90°，
∴∠OBA+∠EBC=90°，
又∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
在△OAB和△EBC中，
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∴△OAB≌△EBC（AAS），
∴CE=OB=
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∵抛物线的对称轴为：x=2
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∴点C到对称轴的距离为：
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∴抛物线的对称轴与⊙C相切；
（3）设AC为y=kx+b′
将A（0，3），C（3
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解得：
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∴AC所在直线解析式为：y=-
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如图2，过点P作x轴的垂线，交AC于点P′，连接AP，PC，
则PP′=-
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∴当x=
3
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当x=
3
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此时，点P坐标为（
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