Question

已知抛物线y=-

1

2

x2+mx+n与x轴交于不同的两点A（x₁，0），B（x₂，0），点A在点B的左边，抛物线与y轴交于点C，若A，B两点位于y轴异侧，且tan∠CAO=tan∠BCO=

1

3

，求抛物线的解析式．

Answer 1

∵图象与x轴有交点，∴令y=0，
∵图象与y轴有交点，∴令x=0，
∴y=n 即C点坐标为（0，n），
∵tan∠CAO=tan∠BCO=

1

3

，
∴

OC

AO

=

OB

OC

=

1

3

，
∵∠ACB=90°，CO⊥x轴，
∴OC²=AO•OB，
∵A、B两点在y轴异侧，
∴OA=3n，OB=

1

3

n，
即n²=n，∵n≠0，∴n=1，∴OC=1，
∴AO=3，B0=

1

3

∴A点坐标为（-3，0），
同理解得B点坐标为（

1

3

，0），
设y=a（x+3）（x-

1

3

）
且它过点C（0，1），
代入后解得：a=-1，
所以：y=-x²-

8

3

x-1．
答：抛物线的解析式为：y=-x²-

8

3

x-1．