题目内容

已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．
（1）试直接写出点D的坐标；
（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；
（3）试问在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得
|TO-TB|的值最大？若存在，则求出点T点的坐标；若不存在，则说明理由．
（1）∵OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．
∴D点的坐标为（-1.5，2）；

（2）根据D点的坐标为（-1.5，2）；B点的坐标为（3，2），
以及图象过（0，0），
∴代入二次函数解析式y=ax 2+bx+c，
∴
2=
9
4
a-
3
2
b+c
2=9a+3b+c
c=0
，
解得：
a=
4
9
b=-
2
3
c=0
，
∴二次函数解析式为：y=
4
9
x 2-
2
3
x，
假设P点的横坐标为x，纵坐标为：
4
9
x 2-
2
3
x，
∴当△DAO∽△PQO，
∴
DA
PQ
=
AO
OQ
，
∴
3
2
4
9
x2-
2
3
x
=
2
x
，
解得：x=0（不合题意舍去）或x=
51
16
，
当x=
51
16
时，y=
4
9
x 2-
2
3
x=
153
64
，
∴P点的坐标为：（
51
16
，
153
64
），
当△DAO∽△OQP，
∴
DA
OQ
=
AO
PQ
，
∴
3
2
x
=
2
4
9
x2-
2
3
x
，
解得：x=0（不合题意舍去）或x=4.5，
当x=4.5时，y=
4
9
x 2-
2
3
x=6，
∴P点的坐标为：（4.5，6），
故P点的坐标为：（4.5，6）或（
51
16
，
153
64
）；

（3）因为TD=TB，所以求|TO-TB|的值最大转化为求|TO-TD|的最大值，
T、D、O组成三角形，根据两边之差小于第3边，即|TO-TD|＜OD，
只有T、D、O在同一条直线上的时候，才能取得最大值，最大值为OD的长度，
因此延长DO，与对称轴的交点即为所求之T点，
将D（-1.5，2），O（0，0）代入y=kx+b，
k=-
4
3
，
y=-
4
3
x，
∴x=
3
4
，
y=-1，
即T点的坐标为（
3
4
，-1），
故使得|TO-TB|的值最大T点的坐标为（
3
4
，-1）．
练习册系列答案
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3
，0），C（3
3
，0）．
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1
4
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1
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A．-3B．1C．5D．8

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