Question

已知二次函数y=x²–kx+k–1（k＞2）.

（1）求证：抛物线y=x²–kx+k-1（k＞2）与x轴必有两个交点；
（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,若，求抛物线的表达式；
（3）以（2）中的抛物线上一点P（m,n）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m取何值时，x轴与相离、相切、相交.

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）；（3）当或时，x轴与相离.；
当或或时，x轴与相切； 当或时，x轴与相交.

解析试题分析：（1）令y=0，得到一个关于字母x的一元二次方程，求出此方程的判别式的值为，根据k>2，可得，即可得到答案.
（2）令，有；解得：. 根据k的取值以及点A、B的位置确定 ；由抛物线与y轴交于点C得：；根据Rt中∠OAC的正切值求得k的取值，进而可得抛物线的表达式.（3）根据直线与圆的位置关系是由圆心到直线的距离和圆的半径确定的，当⊙P与x轴相切时，即y=±1；根据相切时m的取值即可作出判断，注意分类讨论.
试题解析：
（1）证明：∵，
又∵，
∴.
∴即. 
∴抛物线y = x² – kx + k - 1与x轴必有两个交点.
(2) 解：∵抛物线y = x² – kx + k -1与x轴交于A、B两点，
∴令，有.
解得：. 
∵，点A在点B的左侧，
∴.
∵抛物线与y轴交于点C,
∴.
∵在Rt中, ,
∴,  解得.
∴抛物线的表达式为.
（3）解：当或时，x轴与相离. 
当或或时，x轴与相切.
当或时，x轴与相交.
考点：1、根的判别式；2、求二次函数的解析式；3、直线与圆的位置关系.