题目内容
【题目】已知tan∠MON=2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足为点F.
（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E. 当m=2时，求线段EF的长度；
图（1）
（2）如图（2），联结OC，当m=2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；
图（2）
（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值.
图（3）
【答案】（1）
；（2）
；（3）1或2或
.
【解析】
（1）如图1，延长FC交OM于点G，证∠BCG=∠MON，在Rt△AOE中，设OE=a，可求得OA，OG，OF的长，则
；
（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得
，推出
，在Rt△COB中，由勾股定理求出a的值，得出OF的长，可求出cos∠COF的值，进一步推出sin∠COF的值；
（3）需分情况讨论：当D在∠MON内部时，△FDA∽△FDC时，此时CD=AD=2，m=2；当△FDA∽△CDF时，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，可利用三角函数求出m的值；当D在∠MON外部时，可利用相似的性质等求出m的值．
解：解：（1）如图1，
延长
交
于点
，
，
，
，
则
，
，
，
在
中，
设
，由
，
可得
，则
，
，
；
（2）如图2，
延长交于点，由（1）得，
平分
，
，
，
，
，
，
，
在
中，由
，
得
，
解得
（舍去），
，
，
，
；
（3）当
在
内部时，
①如图
，
时，此时
，
；
②当
时，
如图
，
延长
交
于点
，过
作
于
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当在外部时，
，
，
，
，
，
如图
，
时，此时
，
，
，
、
重合，
延长
交于
，
，
，
，
；
如图
，
时，设
，
延长交于，过作
于
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
（舍去），
，矛盾，
综上所述：
或
，或
．
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