Question

【题目】已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC＝BC，D、E是⊙O上两点，连接AD、DE、AE．

（1）如图1，求证：∠AED﹣∠CAD＝45°；

（2）如图2，若DE⊥AB于点H，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EK⊥AD于点K，交AC于点F，求证：AF＝2DG；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）⊙O的半径为

【解析】

（1）连接CO，CE，证∠B＝45°，可依次推出∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝∠COA＝45°，即可写出结论；

（2）连接CO并延长，交⊙O于点N，连接AN，过点E作EM⊥AC于M，证△ADG≌△EAM，△ADG≌△EFM，即可推出AF＝2DG；

（3）证△FCD∽△DCA，推出△GFD为等腰直角三角形，设GF＝GD＝a，分别用含a的代数式表示DF，AF，FK，在Rt△FKD中，即可求出a的值，再利用△FCD∽△DCA，求出FC的值，即可求得AC的值，进一步求出AB的值，即可求得半径．

（1）证明：如图1，连接CO，CE，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝BC，

∴∠B＝∠CAB＝45°，

∴∠COA＝2∠B＝90°，

∵，

∴∠CAD＝∠CED，

∴∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝∠COA＝45°，

即∠AED﹣∠CAD＝45°；

（2）如图2，连接CO并延长，交⊙O于点N，连接AN，过点E作EM⊥AC于M，

则∠CAN＝90°，

∵AC＝BC，AO＝BO，

∴CN⊥AB，

∴AB垂直平分CN，

∴AN＝AC，

∴∠NAB＝∠CAB，

∵AB垂直平分DE，

∴AD＝AE，

∴∠DAB＝∠EAB，

∴∠NAB﹣∠EAB＝∠CAB﹣∠DAB，

即∠GAD＝∠NAE，

∵∠CAN＝∠CME＝90°，

∴AN∥EB，

∴∠NAE＝∠MEA，

∴∠GAD＝∠MEA，

又∵∠G＝∠AME＝90°，AD＝EA，

∴△ADG≌△EAM（AAS），

∴AG＝EM，AM＝DG，

又∵∠MEF+∠MFE＝90°，∠MFE+∠GAD＝90°，

∴∠MEF＝∠GAD，

又∵∠G＝∠FME＝90°，

∴△ADG≌△EFM（ASA），

∴DG＝MF，

∵DG＝AM，

∴AF＝AM+MF＝2DG；

（3）∵∠CDF＝∠GAD，∠FCD＝∠DCA，

∴△FCD∽△DCA，

∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA，

∵AC＝BC，AB为直径，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA＝45°，

∴△GFD为等腰直角三角形，

设GF＝GD＝a，则FD＝a，AF＝2a，

∴

∵∠FAK＝∠DAG，∠AKF＝∠G＝90°，

∴△AFK∽△ADG，

∴，

在Rt△AFK中，

设FK＝x，则AK＝3x，

∵FK2+AK2＝AF2，

∴x2+（3x）2＝（2a）2，

解得，x＝a（取正值），

∴FK＝a，

在Rt△FKD中，FK2+DK2＝FD2，

∴（a）2+32＝（a）2，

解得，a＝（取正值），

∴GF＝GD＝，AF＝，

∵△FCD∽△DCA，

∴

∴CD2＝CAFC，

∵CD2＝CG2+GD2，

∴CG2+GD2＝CAFC，

设FC＝n，

则

解得，n＝，

∴AC＝AF+CF＝

∴AB＝AC＝，

⊙O的半径为．