Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BA延长线上一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，且AM=BN=1，连接CM、ND，过点M作MF∥ND与∠EAD的平分线交于点F，连接CF分别与AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（ ）个

①MC⊥ND；②sin∠MFC=；③(BM+DG)=AM+AG；④S△HMF=

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①设MC与DN交点是P，通过证明△MBC≌△NCD得到∠PNC=∠CMB，又证明则∠PNC +∠PCN =90°求出∠NPC=90°，则MC⊥ND，即可得到答案.

故①MC⊥ND正确.

②延长AE，作FQ⊥AF于点Q，利用勾股定理求出MC=5，再通过△MBC∽△FQM得到即，又因为QA=QF，则可以求得QA=QF =3，进而求得，在Rt△FMC中，利用勾股定理得则可以求得sin∠MFC的值.

③设(BM+DG)=AM+AG存在，利用边与边的关系可以求出DG，符合题意，即可求出答案.

④作HI⊥MF于点I,先证△CPN∽△CBM，求出PC，MP=MC-PC=5-，再通过证

四边形MPHI是矩形，求得IH= MP，知道△HMF的底和高，即可求出答案.

(1)

设MC与ND交于点P，如图所示.

∵四边形ABCD是正方形

∴CD=BC=AB=4

∠MBC=∠NCD=90°

∵AM=BN=1

∴NC=BC-BN=4-1=3

MB=AB-AM=4-1=3

∴NC=MB

在△MBC与△NCD中，

∴△MBC≌△NCD

∴∠PNC=∠CMB

∵∠MBC =90°

∴∠CMB+∠PCN =90°

则∠PNC +∠PCN =90°

∴∠NPC=180°-（∠PNC +∠PCN）=90°

∴MC⊥ND

故①MC⊥ND正确.

（2）

延长AE，作FQ⊥AF于点Q

∵MB=3,BC=4.∠B=90°

∴在Rt△MBC中，利用勾股定理得

∠BCM+∠BMC =90°

∵MC⊥ND，MF∥ND

∴∠FMC=90°

∴∠QMF+∠BMC=180°-∠FMC=90°

∴∠QMF=∠BCM

∵FQ⊥AF

∠B=90°

∴∠FQM=∠B

∴△MBC∽△FQM

∴即

∵四边形ABCD是正方形，AF平分∠QAG

∴∠QAF=

又∵∠FQM=90°

∴∠QFA=∠QAF

∴QA=QF

∴变形为解得QA=QF =3

∴QM=QA+AM=4

∴在Rt△QMF中，利用勾股定理得

∴在Rt△FMC中，利用勾股定理得

∴sin∠MFC=故②正确

（3）设(BM+DG)=AM+AG存在

由上述可知BM=3,AM=1,AG=AD-GD=4-DG，

将其代入(BM+DG)=AM+AG

得：(3+DG)=1+（4-DG）

解得DG=，符合题意，故③正确.

（4）

作HI⊥MF于点I

∵∠PCN=∠PCN，∠NPC=∠B=90°

∴△CPN∽△CBM

∴则即

解得

∴MP=MC-PC=5-

∵∠IMP=∠MPH=∠MIH=90°

∴四边形MPHI是矩形

∴IH= MP

∴S△HMF=故④正确

综上所述四项全部正确，答案选D