Question

探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，求四边形ABCD的面积．
应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为　 　．

Answer 1

探究：100.
应用： 152。

试题分析：探究：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，先判定四边形AFCE为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB和△AED全等，根据全解：探究：如图①，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，

∵AE⊥CD，∠BCD=90°，∴四边形AFCE为矩形。
∴∠FAE=90°。∴∠FAB+∠BAE=90°。
∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD。。
∵在△AFB和△AED中，，
∴△AFB≌△AED（AAS）。
∴AF=AE。
∴四边形AFCE为正方形，
∴S_{四边形ABCD}=S_{正方形AFCE}=AE²=10²=100。
等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到四边形AFCE是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解。
应用：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，则∠ADF+∠ADC=180°，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF。
∵在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（AAS）。
∴AF=AE=19。
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=BC•AE+CD•AF
=×10×19+×6×19=152。