题目内容
在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A?B?C向终点C运动,连接DM交AC于点N.
(1)如图1,当点M在AB边上时,连接BN:
①求证:△ABN≌△ADN;
②若∠ABC=60°,AM=4,∠ABN=α,求点M到AD的距离及tanα的值.
(2)如图2,若∠ABC=90°,记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12).试问:x为何值时,△ADN为等腰三角形.
(1)如图1,当点M在AB边上时,连接BN:
①求证:△ABN≌△ADN;
②若∠ABC=60°,AM=4,∠ABN=α,求点M到AD的距离及tanα的值.
(2)如图2,若∠ABC=90°,记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12).试问:x为何值时,△ADN为等腰三角形.
(1)①证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠1=∠2.
又∵AN=AN,
∴△ABN≌△ADN(SAS).
②作MH⊥DA交DA的延长线于点H.
由AD∥BC,得∠MAH=∠ABC=60°.
在Rt△AMH中,MH=AM•sin60°=4×sin60°=2
.
∴点M到AD的距离为2
.
∴AH=2.
∴DH=6+2=8.
在Rt△DMH中,tan∠MDH=
=
=
,
由①知,∠MDH=∠ABN=α,
∴tanα=
;
(2)∵∠ABC=90°,
∴菱形ABCD是正方形.
∴∠CAD=45°.
下面分三种情形:
(Ⅰ)若ND=NA,则∠ADN=∠NAD=45°.
此时,点M恰好与点B重合,得x=6;
(Ⅱ)若DN=DA,则∠DNA=∠DAN=45°.
此时,点M恰好与点C重合,得x=12;
(Ⅲ)若AN=AD=6,则∠1=∠2.
∵AD∥BC,
∴∠1=∠4,又∠2=∠3,
∴∠3=∠4.
∴CM=CN.
∵AC=6
.
∴CM=CN=AC-AN=6
-6.
故x=12-CM=12-(6
-6)=18-6
.
综上所述:当x=6或12或18-6
时,△ADN是等腰三角形.
∴AB=AD,∠1=∠2.
又∵AN=AN,
∴△ABN≌△ADN(SAS).
②作MH⊥DA交DA的延长线于点H.
由AD∥BC,得∠MAH=∠ABC=60°.
在Rt△AMH中,MH=AM•sin60°=4×sin60°=2
3 |
∴点M到AD的距离为2
3 |
∴AH=2.
∴DH=6+2=8.
在Rt△DMH中,tan∠MDH=
MH |
DH |
2
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8 |
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由①知,∠MDH=∠ABN=α,
∴tanα=
| ||
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(2)∵∠ABC=90°,
∴菱形ABCD是正方形.
∴∠CAD=45°.
下面分三种情形:
(Ⅰ)若ND=NA,则∠ADN=∠NAD=45°.
此时,点M恰好与点B重合,得x=6;
(Ⅱ)若DN=DA,则∠DNA=∠DAN=45°.
此时,点M恰好与点C重合,得x=12;
(Ⅲ)若AN=AD=6,则∠1=∠2.
∵AD∥BC,
∴∠1=∠4,又∠2=∠3,
∴∠3=∠4.
∴CM=CN.
∵AC=6
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∴CM=CN=AC-AN=6
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故x=12-CM=12-(6
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综上所述:当x=6或12或18-6
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