题目内容

【题目】已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB=4,BC=2 ,求CD的长.

【答案】
(1)证明:∵ED=EC,

∴∠EDC=∠C,

∵∠EDC=∠B,

∴∠B=∠C,

∴AB=AC


(2)方法一:

解:连接AE,

∵AB为直径,

∴AE⊥BC,

由(1)知AB=AC,

∴BE=CE= BC=

∵△CDE∽△CBA,

∴CECB=CDCA,AC=AB=4,

2 =4CD,

∴CD=

方法二:

解:连接BD,

∵AB为直径,

∴BD⊥AC,

设CD=a,

由(1)知AC=AB=4,

则AD=4﹣a,

在Rt△ABD中,由勾股定理可得:

BD2=AB2﹣AD2=42﹣(4﹣a)2

在Rt△CBD中,由勾股定理可得:

BD2=BC2﹣CD2=(2 2﹣a2

∴42﹣(4﹣a)2=(2 2﹣a2

整理得:a=

即:CD=


【解析】(1)由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C,由圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠B,由此推得∠B=∠C,由等腰三角形的判定即可证得结论;(2)连接AE,由AB为直径,可证得AE⊥BC,由(1)知AB=AC,证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长.

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