题目内容
【题目】我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx(a≠0)
(1)对于这样的抛物线:
当顶点坐标为(1,1)时,a=;
当顶点坐标为(m,m),m≠0时,a与m之间的关系式是
(2)继续探究,如果b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k≠0)上,请用含k的代数式表示b;
(3)现有一组过原点的抛物线,顶点A1 , A2 , …,An在直线y=x上,横坐标依次为1,2,…,n(为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1 , B2 , …,Bn , 以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn , 若这组抛物线中有一条经过Dn , 求所有满足条件的正方形边长.
【答案】
(1)﹣1;a=﹣ 或am+1=0
(2)
解:∵a≠0,
∴y=ax2+bx=a(x+ )2﹣ ,
∴顶点坐标是(﹣ ,﹣ ).
又∵该顶点在直线y=kx(k≠0)上,
∴k(﹣ )=﹣ .
∵b≠0,
∴b=2k
(3)
解:∵顶点A1,A2,…,An在直线y=x上,
∴可设An(n,n),点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t,t).
∴a=﹣ ,b=2,
∴由(1)(2)可得,点Dn所在的抛物线解析式为y=﹣ x2+2x.
∵四边形AnBnCnDn是正方形,
∴点Dn的坐标是(2n,n),
∴﹣ (2n)2+22n=n,
∴4n=3t.
∵t、n是正整数,且t≤12,n≤12,
∴n=3,6或9.
∴满足条件的正方形边长是3,6或9
【解析】解:(1)∵顶点坐标为(1,1),
∴ ,
解得, ,
即当顶点坐标为(1,1)时,a=﹣1;
当顶点坐标为(m,m),m≠0时, ,
解得,
则a与m之间的关系式是:a=﹣ 或am+1=0.
故答案是:﹣1;a=﹣ 或am+1=0.
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.