Question

如图所示：直线MN⊥RS于点O，点B在射线OS上，OB=2，点C在射线ON上，OC=2，点E是射线OM上一动点，连结EB，过O作OP⊥EB于P，连结CP，过P作PF⊥PC交射线OS于F。
（1）求证：△POC∽△PBF。
（2）当OE=1，OE=2时， BF的长分别为多少？当OE=n时，BF=_______.
（3）当OE=1时，；OE=2时， ；…,OE=n时，.则=_______.（直接写出答案）

备用图

Answer 1

（1）证明：∵∠OPB=∠CPF 
∴∠OPC=∠BPF ,
∵∠EOP=∠EOB=90，
∴∠EOP=∠OBP 
∴∠POC=∠PBF
∴⊿POC∽⊿PBF               
(2) 解∵ ⊿POC∽⊿PBF
∴OC/BF=PO/PB
∵⊿OPB∽⊿EOB
∴PO/PB=OE/OB
∴OC/BF= OE/OB
∴OE.BF=OC.OB=4               
∴当OE=1时，BF=4;
当OE=2时，BF=2，当OE=n时，BF="4/n."
（3）根据题意得；=2n；

（1）根据∠OPB=∠CPF，得出∠OPC=∠BPF，再根据∠EOP=∠EOB=90，得出∠EOP=∠OBP，∠POC=∠PBF，即可证出△POC∽△PBF；              
（2）根据△POC∽△PBF，得出OC/BF ="PO/PB" ，再根据△OPB∽△EOB，得出OE•BF=OC•OB=4，即可求出BF的长；
（3）根据已知条件当OE=1时，S_△EBF=S₁；OE=2时，S_△EBF=S₂；…，OE=n时，S_△EBF=S_n即可求出S₁+S₂+…+S_n=2n