Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且，CE的延长线交D的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）当OB＝2时，求AH的长

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC，由垂径定理得出∠AOC＝90°，证明OC是△ABD的中位线，得出OC∥BD，由平行线的性质得出∠ABD＝∠AOC＝90°，即可得出结论；

（2）由平行线得出△OCE∽△BFE，得出＝＝，求出BF＝3，由勾股定理得出AF＝＝5，由三角形面积得出BH＝＝，再由勾股定理即可得出答案．

解：（1）证明：连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，

∴∠AOC＝90°，

∵OA＝OB，CD＝AC，

∴OC是△ABD的中位线，

∴OC∥BD，

∴∠ABD＝∠AOC＝90°，

∴AB⊥BD，

∴BD是⊙O的切线；

（2）解：由（1）得：OC∥BD，

∴△OCE∽△BFE，

∴＝＝

∵OB＝2，

∴OC＝OB＝2，AB＝4，

∴＝，

∴BF＝3，

∵∠ABD＝90°，

∴∠ABF＝90°，

∴AF＝＝＝5，

∵△ABF的面积=AF×BH＝AB×BF，

∴BH＝＝，

∴AH＝＝＝．