题目内容
【题目】如图,已知E、F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF与DE交于点M,则下列结论:①∠AME=90°;②∠BAF=∠EDB;③MD=2AM=4EM;④AM=MF.其中正确结论的个数是( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
根据正方形的性质可得AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,再根据中点定义求出AE=BF,然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等,根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE,然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,从而求出∠AMD=90°,再根据邻补角的定义可得∠AME=90°,从而判断①正确;根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB,然后求出∠BAF≠∠EDB,判断出②错误;根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似,利用相似三角形对应边成比例可得,然后求出MD=2AM=4EM,判断出③正确,设正方形ABCD的边长为2a,利用勾股定理列式求出AF,再根据相似三角形对应边成比例求出AM,然后求出MF,消掉a即可得到AM=
MF,判断出④正确.
解:在正方形ABCD中,AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,
∵E、F分别为边AB,BC的中点,
在△ABF和△DAE中,
∴△ABF≌△DAE(SAS),
∴∠BAF=∠ADE,
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°,
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,
∴∠AMD=180°-(∠ADE+∠DAF)=180°-90°=90°,
∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°,故①正确;
∵DE是△ABD的中线,
∴∠ADE≠∠EDB,
∴∠BAF≠∠EDB,故②错误;
∵∠BAD=90°,AM⊥DE,
∴△AED∽△MAD∽△MEA,
∴
∴AM=2EM,MD=2AM,
∴MD=2AM=4EM,故③正确;
设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a,
在Rt△ABF中,
∵∠BAF=∠MAE,∠ABC=∠AME=90°,
∴△AME∽△ABF,
即
,故④正确
