题目内容

【题目】如图,已知EF分别为正方形ABCD的边ABBC的中点,AFDE交于点M,则下列结论:①∠AME=90°;②∠BAF=EDB;③MD=2AM=4EM;④AM=MF.其中正确结论的个数是(  )

A. 4B. 3C. 2D. 1

【答案】B

【解析】

根据正方形的性质可得AB=BC=AD,∠ABC=BAD=90°,再根据中点定义求出AE=BF,然后利用边角边证明ABFDAE全等,根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=ADE,然后求出∠ADE+DAF=BAD=90°,从而求出∠AMD=90°,再根据邻补角的定义可得∠AME=90°,从而判断①正确;根据中线的定义判断出∠ADE≠EDB,然后求出∠BAF≠EDB,判断出②错误;根据直角三角形的性质判断出AEDMADMEA三个三角形相似,利用相似三角形对应边成比例可得,然后求出MD=2AM=4EM,判断出③正确,设正方形ABCD的边长为2a,利用勾股定理列式求出AF,再根据相似三角形对应边成比例求出AM,然后求出MF,消掉a即可得到AM=

MF,判断出④正确.

解:在正方形ABCD中,AB=BC=AD,∠ABC=BAD=90°
EF分别为边ABBC的中点,

ABFDAE中,

∴△ABF≌△DAESAS),
∴∠BAF=ADE
∵∠BAF+DAF=BAD=90°
∴∠ADE+DAF=BAD=90°
∴∠AMD=180°-(∠ADE+DAF=180°-90°=90°
∴∠AME=180°-AMD=180°-90°=90°,故①正确;
DEABD的中线,
∴∠ADE≠EDB
∴∠BAF≠EDB,故②错误;

∵∠BAD=90°AMDE
∴△AED∽△MAD∽△MEA

AM=2EMMD=2AM
MD=2AM=4EM,故③正确;

设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a
RtABF中,

∵∠BAF=MAE,∠ABC=AME=90°
∴△AME∽△ABF

,故④正确

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