题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上一点,连接BD,使∠A=2∠1,点E是BC上的一点,以BE为直径的⊙O经过点D.

(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若∠A=60°,⊙O的半径为2,求AB的长.

【答案】
(1)证明:连接OD,

∵OD=OB,

∴∠1=∠ODB,

∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1,

而∠A=2∠1,

∴∠DOC=∠A,

∵∠A+∠C=90°,

∴∠DOC+∠C=90°,

∴OD⊥DC,

∴AC是⊙O的切线


(2)解:∵∠A=60°,

∴∠C=30°,∠DOC=60°,

在Rt△DOC中,OD=2,

∴OC=2OD=4,BC=OB+OC=6

在Rt△ABC中,AB=BCtan30°=2


【解析】(1)首先依据直角三角形的性质可得到∠A+∠C=90°,然后由OD=OB得∠1=∠ODB,则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1=∠A,故此可得到∠DOC+∠C=90°,最后,根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线;
(2)由直角三角形的性质可得到∠C=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=2OD,最后,在Rt△ABC中,根据AB=BCtan30°计算即可.

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