Question

【题目】如图，在正方形中，是上的点，且，是的中点.

（1）与是否相似？为什么？

（2）与的关系是什么？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）相似，理由见解析；（2）且⊥，理由见解析

【解析】

（1）在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：∠D=∠C=90°，若证明两三角形相似，可证两个三角形的对应直角边成比例；

（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．根据相似三角形的对应边成比例即可求得AQ与PQ的数量关系；根据相似三角形的对应角相等即可证得AQ与PQ的位置关系．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD=BC，∠C=∠D=90°；

又∵Q是CD中点，

∴CQ=DQ=AD；

∵BP=3PC，

∴CP=BC=AD，

∴，

又∵∠C=∠D=90°，

∴△ADQ∽△QCP；

（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由如下：

由（1）知，△ADQ∽△QCP，，

则，

∴AQ=2PQ；

∵△ADQ∽△QCP，

∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，

∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°，

∴AQ⊥QP．

故与的关系是：且⊥.