题目内容
【题目】已知，矩形ABCD中，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.
(1)如图1，连接AF、CE，求证:四边形AFCE为菱形；
(2)如图2，若AB=4cm，AF=5cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中：
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为
秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值；
②若点P、Q的运动路程分别为
(单位:cm，
)，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求
与
满足的数量关系式。
【答案】(1)见解析;(2)①
;②a+b=12(ab≠0).
【解析】
(1)证明△AOE≌△COF，由全等推出OE=OF，得出平行四边形AFCE，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形即可得结论；
(2)①分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②由题意得，以A、C、P、O四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上，分三种情况，画出图形讨论即可得.
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF，
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形，
因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、O四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA,
∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，
∴PC=5t,QA=12-4t, ∴5t=12-4t,解得：t=,
∴以A、C、P、O四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=；
②由题意得，以A、C、P、O四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上，
分三种情况：
(i)如图1，当P点在AF上，Q点在CE上时，AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12；
(ii) 如图2，当P点在BF上，Q点在DE上时，AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12；
(iii) 如图3，当P点在AB上，Q点在CD上时，AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12；
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).
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【题目】（10分）下面的图形是由边长为l的正方形按照某种规律排列而组成的．
（1）观察图形，填写下表：
图形 | ① | ② | ③ |
正方形的个数 | 8 |
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图形的周长 | 18 |
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（2）推测第n个图形中，正方形的个数为 ，周长为 （都用含n的代数式表示）．
（3）这些图形中，任意一个图形的周长y与它所含正方形个数x之间的关系可表示为y= ．
