Question

【题目】如图，抛物线y=ax2﹣5ax﹣6a交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴于点C，直线y=﹣x+b交抛物线于D，交x轴于E，且△ACE的面积为6．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为CD上方抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，交直线CD于F，设P点的横坐标为m，线段PF的长为d，求d与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点P作PG⊥CD，垂足为G，若∠APG=∠ACO，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把y=0代入y=ax2﹣5ax﹣6a得：ax2﹣5ax﹣6a=0，

∴a（x﹣6）（x+1）=0，

∴x=6或x=﹣1．

∴A（﹣1，0）、B（6、0）

把y=0代入y=﹣x+b得：﹣x+b=0，解得：x=b，把x=0代入y=x+b得：y=b，

∴OC=b，AE=b+1．

∴S△ACE= b（b+1）=6，

解得：b=3或b=﹣4（舍去）．

∴C（0，3）．

将点C的坐标代入抛物线的解析式得：﹣6a=3，解得a=﹣ ．

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+3．

（2）

解：∵b=3，

∴直线CE的解析式为y=﹣x+3．

设P（m，﹣ m2+ m+3）．

∵PF∥x轴，

∴点F的纵坐标为﹣ m2+ m+3．

∴﹣x+3=﹣ m2+ m+3．

∴x= m2﹣ m．

∴d=PF=m﹣（ m2﹣ m）=﹣ m2+ m．

（3）

解：如图1所示：

∵OA=1，OC=3，

∴tan∠ACO= ．

∵∠APG=∠ACO，

∴tan∠APG= ．

如图1所示：过点P作PC⊥x轴，垂足为N，过点A作AM⊥PG，垂足为M．

∵OC=OE，∠COE=90°，

∴∠CEO=45°．

又∵∠EGH=90°，

∴∠GHO=45°．

∴△AMH为等腰直角三角形．

设MH=AM=a，

∴AH= a，PH=4a．

在Rt△PHN中，PN=AN=2 a．

∴AN= a．

∴tan∠PAN=2．

设P（m，﹣ m2+ m+3），则PN=﹣ m2+ m+3，AN=m+1，即 =2，

解得：m=﹣1（舍去）或m=2．

∴P（2，6）．

如图2所示：过点P作PC⊥x轴，垂足为N，过点A作AM⊥PG，垂足为M．

设AM=a，则MP=3a．

∵OC=OE，∠COE=90°，

∴∠CEO=45°．

又∵∠EGH=90°，

∴∠GHO=45°．

∴△AMH为等腰直角三角形．

设MH=AM=a，

∴AH= a，PH=2a．

在Rt△PHN中，PN=AN= a．

∴AN=2 a．

∴tan∠PAN= ．

∴ = ．解得：m=﹣1，m=5，

∴P（5，3）．

综上所述，点P的坐标为P（2，6）或P（5，3）．

【解析】（1）把y=0代入抛物线的解析式可求得方程的解，从而可得到点A和点B的坐标，然后依据△ACE的面积为6可求得b的值，然后可得到点C的坐标，故此可得到a的值；（2）直线CE的解析式为y=﹣x+3．设P（m，﹣ m2+ m+3）．然后可求得点F的横坐标，最后依据d=PF可得到d与m的函数关系式；（3）过点P作PC⊥x轴，垂足为N，过点A作AM⊥PG，垂足为M．然后证明△AMH和△PHN均为等腰直角三角形，设MH=AM=a，然后可求得PN和AN的长，故此可得到tan∠PAN=2或tan∠PAN= ，然后列出关于m的方程求解即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°)，还要掌握锐角三角函数的定义(锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数)的相关知识才是答题的关键．