Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE= AB，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为θ．

（1）问题发现
①当θ=0°时， =；
②当θ=180°时， = ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤θ＜360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）问题解决
①在旋转过程中，BE的最大值为；
②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为 ．

Answer 1

【答案】
（1）；
（2）

当0°≤θ＜360°时， 的大小没有变化，

理由：∵∠CAB=∠DAE，

∴∠CAD=∠BAE，

∵ ，

∴△ADC∽△AEB，

∴ = = ；

（3）2 +2；+1或 ﹣1
【解析】解：（1）①当θ=0°时，
在Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，AB=2 ，
∵AD=DE= AB= ，
∴∠AED=∠A=45°，
∴∠ADE=90°，
∴DE∥CB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以答案是： ，
②当θ=180°时，如图1，

∴DE∥BC，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ = = ，
所以答案是： ；（3）①当点E在BD的延长线时，BE最大，
在Rt△ADE中，AE= AD=2，
∴BE最大=AB+AE=2 +2；
②如图2，

当点E在BD上时，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，AB=2 ，AD= ，根据勾股定理得，DB= = ，
∴BE=BD+DE= + ，
由（2）知， ，
∴CD= = = +1，
如图3，

当点D在BE的延长线上时，
在Rt△ADB中，AD= ，AB=2 ，根据勾股定理得，BD= = ，
∴BE=BD﹣DE= ﹣ ，
由（2）知， ，
∴CD= = = ﹣1．
所以答案是： +1或 ﹣1．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和平行线分线段成比例的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例才能正确解答此题．