题目内容
【题目】已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求b、c的值；
（2）求∠DAO的度数和线段AD的长；
（3）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′，若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
【答案】（1）b=2，c=-3（2）∠DAO=45°．AD=3
（3）y=x2-4x+3或y=x2+6x+3
【解析】
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求直线函数解析式，然后求得D点坐标，通过等腰直角三角形求得∠DAO的度数；根据勾股定理计算即可求得线段AD的长度；
（3）根据题意可设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+tx+3，根据二次函数的性质求出点C′的坐标，再根据题意求出直线CC′的解析式，代入计算即可．
（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=x2+bx+c，
得：
，
解得：
；
（2）把A（-3，0）代入y=x+m得到：-3+m=0，
解得m=3，
即直线方程为y=x+3，
令x=0，则y=3，
∴D（0，3），
∴OA=OD=3，
又∠AOD=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠DAO=45°，
由A（-3，0），D（0，3）得到：AD=
=3，
综上所述，∠DAO=45°，AD=3；
（3）根据题意可设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+tx+3，
y=x2+tx+3=（x+
）2+3-
，
则点C′的坐标为（-，3-），
∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，-3），
∴直线CC′的解析式为：y=x-3，
∴--3=3-，
解得，t1=-4，t2=6，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2-4x+3或y=x2+6x+3．
