题目内容
将两个大小一样的正方形ABCD和正方形CDEF如图放置，点B、C、F在同一直线上，BF=12，再将一直角三角板的直角顶点放置在D点上，DP交AB于点M，DQ交BF于点N．
（1）求证：△DBM≌△DFN；
（2）将三角板DPQ的直角顶点绕点D旋转时，四边形DMBN的面积是否变化？如果不变，请简要说明理由并求出它的面积；
（3）分别延长正方形的边CB和边EF，使它们的延长线分别与直角三角板的两边DP、DQ（或它们的延长线）交于点G和点H，试探究下列问题：
①线段BG与FH相等吗？说明你的理由；
②当线段FN的长是方程x2+x-12=0的一根时，试求出
的值．
（1）求证：△DBM≌△DFN；
（2）将三角板DPQ的直角顶点绕点D旋转时，四边形DMBN的面积是否变化？如果不变，请简要说明理由并求出它的面积；
（3）分别延长正方形的边CB和边EF，使它们的延长线分别与直角三角板的两边DP、DQ（或它们的延长线）交于点G和点H，试探究下列问题：
①线段BG与FH相等吗？说明你的理由；
②当线段FN的长是方程x2+x-12=0的一根时，试求出
| NG |
| NH |
（1）证明：在大小一样的正方形ABCD和正方形CDEF中，
∠ABD=∠DFC=45°，BD=DF，
∵∠PDQ=90°，
∴∠BDM+∠BDN=90°，
又∵∠FDN+∠BDN=45°+45°=90°，
∴∠BDM=∠FDN，
∵在△DBM和△DFN中，
，
∴△DBM≌△DFN（ASA）；
（2）∵△DBM≌△DFN，
∴S△BDM=S△FDN，
∴四边形DMBN的面积等于△BDF的面积，
∵BF=12，
∴CD=
×12=6，
∴S△BDF=
BF•CD=
×12×6=36；
（3）①∵∠ABD=∠DFC=45°，
∴∠ABD+90°=∠DFC+90°，
即∠DBG=∠DFH，
∵在△BDG和△FDH中，
，
∴△BDG≌△FDH（ASA），
∴BG=FH；
②解x2+x-12=0得，x1=-4（舍去），x2=3，
∴FN=3，
∵△DBM≌△DFN，
∴BM=FN=3，
∵BF=12，正方形ABCD和正方形CDEF大小一样，
∴BN=12-3=9，AB=
×12=6，
∵tan∠AMD=tan∠BMG，
∴
=
，
即
=
，
解得BG=6，
∵△BDG≌△FDH，
∴FH=BG=6，
∴NG=BG+BN=6+9=15，
根据勾股定理，NH=
=
=3
，
∴
=
=
．
∠ABD=∠DFC=45°，BD=DF，
∵∠PDQ=90°，
∴∠BDM+∠BDN=90°，
又∵∠FDN+∠BDN=45°+45°=90°，
∴∠BDM=∠FDN，
∵在△DBM和△DFN中，
|
∴△DBM≌△DFN（ASA）；
（2）∵△DBM≌△DFN，
∴S△BDM=S△FDN，
∴四边形DMBN的面积等于△BDF的面积，
∵BF=12，
∴CD=
| 1 |
| 2 |
∴S△BDF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）①∵∠ABD=∠DFC=45°，
∴∠ABD+90°=∠DFC+90°，
即∠DBG=∠DFH，
∵在△BDG和△FDH中，
|
∴△BDG≌△FDH（ASA），
∴BG=FH；
②解x2+x-12=0得，x1=-4（舍去），x2=3，
∴FN=3，
∵△DBM≌△DFN，
∴BM=FN=3，
∵BF=12，正方形ABCD和正方形CDEF大小一样，
∴BN=12-3=9，AB=
| 1 |
| 2 |
∵tan∠AMD=tan∠BMG，
∴
| AD |
| AM |
| BG |
| BM |
即
| 6 |
| 3 |
| BG |
| 3 |
解得BG=6，
∵△BDG≌△FDH，
∴FH=BG=6，
∴NG=BG+BN=6+9=15，
根据勾股定理，NH=
| FN2+FH2 |
| 32+62 |
| 5 |
∴
| NG |
| NH |
| 15 | ||
3
|
| 5 |
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，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．
