Question

【题目】如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点 E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线 PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+4，

∵点B的坐标为（3，0）．

∴4a+4=0，

∴a=﹣1，

∴此抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3

（2）

解：存在．

抛物线的对称轴方程为：x=1，

∵点E的横坐标为2，

∴y=﹣4+4+3=3，

∴点E（2，3），

∴设直线AE的解析式为：y=kx+b，

∴ ，

∴ ，

∴直线AE的解析式为：y=x+1，

∴点F（0，1），

∵D（0，3），

∴D与E关于x=1对称，

作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），

连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，

四边形DFHG的周长即为最小，

设直线EF′的解析式为：y=mx+n，

∴ ，

解得： ，

∴直线EF′的解析式为：y=2x﹣1，

∴当y=0时，2x﹣1=0，得x= ，

即H（ ，0），

当x=1时，y=1，

∴G（1，1）；

∴DF=2，FH=F′H= = ，DG= = ，

∴使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+ + + =2+2

（3）

解：存在．

∵BD= =3 ，

设M（c，0），

∵MN∥BD，

∴ ，

即 = ，

∴MN= （1+c），DM= ，

要使△DNM∽△BMD，

需 ，即DM2=BDMN，

可得：9+c2=3 × （1+c），

解得：c= 或c=3（舍去）．

当x= 时，y=﹣（ ﹣1）2+4= ．

∴存在，点T的坐标为（ ， ）

【解析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；（2）作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，四边形DFHG的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点G、H的坐标；（3）首先设M的坐标为（a，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM2=BDMN，则可得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．