Question

【题目】如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．

（1）求证：CE=CF；
（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，

∵点E、F分别为AB、AD的中点，

∴BE= AB，DF= AD，

∴BE=DF，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴CE=CF

（2）证明：延长BA与CF，交于点G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，

∴∠G=∠FCD，

∵点F分别为AD的中点，且AG∥CD，

∴AG=AB，

∵△BCE≌△DCF，

∴∠ECB=∠DCF，

∵∠CHB=2∠ECB，

∴∠CHB=2∠G，

∵∠CHB=∠G+∠HCG，

∴∠G=∠HCG，

∴GH=CH，

∴CH=AH+AG=AH+AB．

【解析】（1）由菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，易证得△BCE≌△DCF（SAS），则可得CE=CF；（2）由平行线的性质，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易证得∠G=∠HCG，则可得CH=GH，则可证的结果．
【考点精析】本题主要考查了菱形的性质的相关知识点，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能正确解答此题．