题目内容

【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,AE=ED,DF= DC,连接EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的边长为4,求BG的长.

【答案】
(1)证明:∵ABCD为正方形,

∴AD=AB=DC=BC,∠A=∠D=90°,

∵AE=ED,

∵DF= DC,

∴△ABE∽△DEF


(2)解:∵ABCD为正方形,

∴ED∥BG,

又∵DF= DC,正方形的边长为4,

∴ED=2,CG=6,

∴BG=BC+CG=10


【解析】(1)利用正方形的性质,可得∠A=∠D,根据已知可得 ,根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似,可得△ABE∽△DEF;(2)根据平行线分线段成比例定理,可得CG的长,即可求得BG的长.
【考点精析】关于本题考查的正方形的性质和平行线分线段成比例,需要了解正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形;三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例才能得出正确答案.

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