Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ABCD为正方形，

∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，

∵AE=ED，

∴ ，

∵DF= DC，

∴ ，

∴ ，

∴△ABE∽△DEF

（2）解：∵ABCD为正方形，

∴ED∥BG，

∴ ，

又∵DF= DC，正方形的边长为4，

∴ED=2，CG=6，

∴BG=BC+CG=10

【解析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得 ，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
【考点精析】关于本题考查的正方形的性质和平行线分线段成比例，需要了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例才能得出正确答案．