Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径， = ，AB=2，连接AC．
（1）求证：∠CAB=45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD． （Ⅰ）试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA= =45°；

（2）（Ⅰ）解：①当∠ABD为锐角时，如图2所示，作BF⊥l于点F，

由（1）知△ACB是等腰直角三角形，

∵OA=OB=OC，

∴△BOC为等腰直角三角形，

∵l是⊙O的切线，

∴OC⊥l，

又BF⊥l，

∴四边形OBFC是矩形，

∴AB=2OC=2BF，

∵BD=AB，

∴BD=2BF，

∴∠BDF=30°，

∴∠DBA=30°，∠BDA=∠BAD=75°，

∴∠CBE=∠CBA﹣∠DBA=45°﹣30°=15°，

∴∠DEA=∠CEB=90°﹣∠CBE=75°，

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE；

②当∠ABD为钝角时，如图3所示，

同理可得BF= BD，即可知∠BDC=30°，

∵OC⊥AB、OC⊥直线l，

∴AB∥直线l，

∴∠ABD=150°，∠ABE=30°，

∴∠BEC=90°﹣（∠ABE+∠ABC）=90°﹣（30°+45°）=15°，

∵AB=DB，

∴∠ADB= ∠ABE=15°，

∴∠BEC=∠ADE，

∴AE=AD；

（Ⅱ）解：①如图2，当D在C左侧时，

由（2）知CD∥AB，∠ACD=∠BAE，∠DAC=∠EBA=30°，

∴△CAD∽△BAE，

∴ = = ，

∴AE= CD，

作EI⊥AB于点I，

∵∠CAB=45°、∠ABD=30°，

∴BE=2EI=2× AE= AE= × CD=2CD，

∴ =2；

②如图3，当点D在点C右侧时，过点E作EI⊥AB于I，

由（2）知∠ADC=∠BEA=15°，

∵AB∥CD，

∴∠EAB=∠ACD，

∴△ACD∽△BAE，

∴ = = ，

∴ CD，

∵BA=BD，∠BAD=∠BDA=15°，

∴∠IBE=30°，

∴BE=2EI=2× AE= AE= × CD=2CD，

∴ =2．

【解析】（1）由AB是⊙O的直径知∠ACB=90°，由 = 即AC=BC可得答案；（2）（Ⅰ）分∠ABD为锐角和钝角两种情况，①作BF⊥l于点F，证四边形OBFC是矩形可得AB=2OC=2BF，结合BD=AB知∠BDF=30°，再求出∠BDA和∠DEA度数可得；②同理BF= BD，即可知∠BDC=30°，分别求出∠BEC、∠ADB即可得；（Ⅱ）分D在C左侧和点D在点C右侧两种情况，作EI⊥AB，证△CAD∽△BAE得 = = ，即AE= CD，结合EI= BE、EI= AE，可得BE=2EI=2× AE= AE= × CD=2CD，从而得出结论．