Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y= 的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣ ），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．

（1）求该二次函数的表达式；
（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣ +2t．现以线段OP为直径作⊙C．
①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．
②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点A（2，0）和点B（1，﹣ ）分别代入y= x2+mx+n中，得：

，

解得： ，

∴抛物线的解析式：y= x2﹣1

（2）

解：①将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：

x2﹣1=﹣ +2t，x= ，

∴P（ ，﹣ +2t），

∴圆心C（ ，﹣ +t），

∴点C到直线l的距离：﹣ +t﹣（﹣1）=t+ ；

而OP2=8t+1+（﹣ +2t）2，得OP=2t+ ，半径OC=t+ ；

∴直线l与⊙C始终保持相切．

②Ⅰ、由①可知，若直线l与⊙C相切，则：2t﹣ =t+ ，t= ；

∴当0＜t＜ 时，直线l与⊙C相交；

Ⅱ、∵0＜t＜ 时，圆心C到直线l的距离为d=|2t﹣ |，又半径为r=t+ ，

∴a2=4（r2﹣d2）=4[（t+ ）2﹣|2t﹣ |2]=﹣12t2+15t，

∴t= 时，a的平方取得最大值为

【解析】（1）所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将A、B两点坐标代入即可得解．（2）①由于OP是⊙C的直径，根据P点的纵坐标可表示出C点的纵坐标，进而能表示出C到直线l的距离；OP长易得，然后通过比较⊙C的半径和C到直线l的距离，即可判定直线l与⊙C的位置关系．
②该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直线l与点C的位置关系（需要考虑到C到直线l的表达方式）．
在第二问中，a2最大，那么a最大，即直线l被⊙C截得的弦最长，此时圆心C应在直线l上，根据该思路即可得解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．