题目内容
如图所示,抛物线y=ax2+bx+c经过原点O,与x轴交于另一点N,直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点,与抛物线交于B(1,m)、C(2,2)两点.
(1)求直线与抛物线的解析式;
(2)若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x,y),设∠PON=α,求当△PON的面积最大时tanα的值;
(3)若动点P保持(2)中的运动路线,问是否存在点P,使得△POA的面积等于△PON面积的
?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求直线与抛物线的解析式;
(2)若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x,y),设∠PON=α,求当△PON的面积最大时tanα的值;
(3)若动点P保持(2)中的运动路线,问是否存在点P,使得△POA的面积等于△PON面积的
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(1)将点C(2,2)代入直线y=kx+4,可得k=-1
所以直线的解析式为y=-x+4
当x=1时,y=3,
所以B点的坐标为(1,3)
将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c,
可得
解得
,
所以所求的抛物线为y=-2x2+5x.
(2)因为ON的长是一定值,
所以当点P为抛物线的顶点时,△PON的面积最大,
又该抛物线的顶点坐标为(
,
),此时tan∠PON=
=
:
=
.
(3)存在;
把x=0代入直线y=-x+4得y=4,所以点A(0,4)
把y=0代入抛物线y=-2x2+5x
得x=0或x=
,所以点N(
,0)
设动点P坐标为(x,y),
其中y=-2x2+5x (0<x<
)
则得:S△OAP=
|OA|•x=2x
S△ONP=
|ON|•y=
×
•(-2x2+5x)=
(-2x2+5x)
由S△OAP=
S△ONP,
即2x=
•
(-2x2+5x)
解得x=0或x=1,舍去x=0
得x=1,由此得y=3
所以得点P存在,其坐标为(1,3).
所以直线的解析式为y=-x+4
当x=1时,y=3,
所以B点的坐标为(1,3)
将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c,
可得
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解得
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所以所求的抛物线为y=-2x2+5x.
(2)因为ON的长是一定值,
所以当点P为抛物线的顶点时,△PON的面积最大,
又该抛物线的顶点坐标为(
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y |
x |
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(3)存在;
把x=0代入直线y=-x+4得y=4,所以点A(0,4)
把y=0代入抛物线y=-2x2+5x
得x=0或x=
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设动点P坐标为(x,y),
其中y=-2x2+5x (0<x<
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则得:S△OAP=
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S△ONP=
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由S△OAP=
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即2x=
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解得x=0或x=1,舍去x=0
得x=1,由此得y=3
所以得点P存在,其坐标为(1,3).
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