题目内容

如图所示,在平面直角坐标系中有点A(-1,0),点B(4,0),以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,若在抛物线上有一点D,使四边形BOCD为直角梯形,求直线BD的解析式;
(4)设点M是抛物线上任意一点,过点M作MN⊥y轴,交y轴于点N.若在线段AB上有且只有一点P,使∠MPN为直角,求点M的坐标.
(1)C点的坐标为(0,2);理由如下:
如图,连接AC,CB.依相交弦定理的推论可得OC2=OA•OB,
解得OC=2.
故C点的坐标为(0,2).

(2)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-4).
把点C(0,2)的坐标代入上式得a=-
1
2

∴抛物线解析式是y=-
1
2
x2+
3
2
x+2.

(3)如图,过点C作CDOB,交抛物线于点D,则四边形BOCD为直角梯形.
由(2)知抛物线的对称轴是x=
3
2

∴点D的坐标为(3,2).
设过点B,点D的解析式是y=kx+b.
把点B(4,0),点D(3,2)的坐标代入上式得
4k+b=0
3k+b=2

解之得
k=-2
b=8

∴直线BD的解析式是y=-2x+8.

(4)依题意可知,以MN为直径的半圆与线段AB相切于点P.
设点M的坐标为(m,n).
①当点M在第一或第三象限时,m=2n.
把点M的坐标(2n,n)代入抛物线的解析式得n2-n-1=0,
解之得n=
5
2

∴点M的坐标是(1+
5
1+
5
2
)或(1-
5
1-
5
2
).
②当点M在第二或第四象限时,m=-2n.
把点M的坐标(-2n,n)代入抛物线的解析式得n2+2n-1=0,
解之得n=-1±
2

∴点M的坐标是(2-2
2
,-1+
2
)或(2+2
2
,-1-
2
).
综上,满足条件的点M的坐标是(1+
5
1+
5
2
),(1-
5
1-
5
2
),
(2-2
2
,-1+
2
),(2+2
2
,-1-
2
).
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