题目内容
已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下,与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点,其中x1<x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x12+x22=10,求抛物线的解析式,并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线;
(3)设这条抛物线的顶点为C,延长CA交y轴于点D.在y轴上是否存在点P,使以P、B、O为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求m的取值范围;
(2)若x12+x22=10,求抛物线的解析式,并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线;
(3)设这条抛物线的顶点为C,延长CA交y轴于点D.在y轴上是否存在点P,使以P、B、O为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)
由①式得:m>1;
由②式得:m<
∴1<m<
;
(2)依题意有:x1+x2=
,x1x2=
,又x12+x22=10
∴(x1+x2)2-2x1x2=10
∴
-
=10
化简得:[5(m-1)+8][(m-1)-1]=0
∴m=-
,m=2
由(1)值:m=-
应舍去,
∴m=2.
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3;
(3)将抛物线配方得:y=-(x-2)2+1,
∴抛物线顶点坐标为(2,1),
与x轴交点为(1,0)(3,0),
与y轴交点为(0,-3),
可画出抛物线的示意图(如图)
∵A(1,0),B(3,0),C(2,1)
∴△ABC为等腰直角三角形,即∠BCD=90°
又∵直线AC与y轴交于点D
∴D(0,-1),
易得:BC=
,CD=2
依题意,设点P(0,y)
若△POB∽△BCD
则
=
或
=
∴
=
或
=
∴|y|=
或|y|=6
∴y=±
或y=±6.
∴当P点坐标为(0,
)(0,-
)(0,6)(0,-6)时,可使△POB∽△BCD.
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由①式得:m>1;
由②式得:m<
7 |
3 |
∴1<m<
7 |
3 |
(2)依题意有:x1+x2=
4 |
m-1 |
3 |
m-1 |
∴(x1+x2)2-2x1x2=10
∴
16 |
(m-1)2 |
6 |
m-1 |
化简得:[5(m-1)+8][(m-1)-1]=0
∴m=-
3 |
5 |
由(1)值:m=-
3 |
5 |
∴m=2.
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3;
(3)将抛物线配方得:y=-(x-2)2+1,
∴抛物线顶点坐标为(2,1),
与x轴交点为(1,0)(3,0),
与y轴交点为(0,-3),
可画出抛物线的示意图(如图)
∵A(1,0),B(3,0),C(2,1)
∴△ABC为等腰直角三角形,即∠BCD=90°
又∵直线AC与y轴交于点D
∴D(0,-1),
易得:BC=
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依题意,设点P(0,y)
若△POB∽△BCD
则
OP |
BC |
OB |
CD |
OB |
BC |
OP |
CD |
∴
|y| | ||
|
3 | ||
2
|
3 | ||
|
|y| | ||
2
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∴|y|=
3 |
2 |
∴y=±
3 |
2 |
∴当P点坐标为(0,
3 |
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3 |
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