Question

如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（-1，0）、B（0，2），抛物线y=ax²+ax-2经过点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图②，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O′，连接AE，在⊙O′上另有一点F，且AF=AE，AF交BC于点G，连接BF．下列结论：①BE+BF的值不变；②

BF

AF

=

BG

AG

，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论．

Answer 1

（1）由Rt△AOB≌Rt△CDA，得OD=2+1=3，CD=1
∴C点坐标为（-3，1），
∴抛物线经过点C，
∴1=a（-3）²+a（-3）-2，
∴a=

1

2

∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²+

1

2

x-2

（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形．
以AB为边在AB的右侧作正方形ABPQ，过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G，可证△PBE≌△AQG≌△BAO，
∴PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1，
∴P点坐标为（2，1），Q点坐标为（1，-1）．
由（1）抛物线y=

1

2

x²+

1

2

x-2
当x=2时，y=1；当x=1时，y=-1．
∴P、Q在抛物线上．
故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2，1）、Q（1，-1），使四边形ABPQ是正方形．

（2）另在抛物线（对称轴右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形．
延长CA交抛物线于Q，过B作BP∥CA交抛物线于P，连PQ，设直线CA、BP的解析式分别为y=k₁x+b₁；y=k₂x+b₂，
∵A（-1，0），C（-3，1），
∴CA的解析式为y=-

1

2

x-

1

2

，
同理得BP的解析式y=-

1

2

x+2，
解方程组

y=- 1 2 x- 1 2 y= 1 2 x2+ 1 2 x-2

，
得Q点坐标为（1，-1），
同理得P点坐标为（2，1）
由勾股定理得AQ=BP=AB=

5

，而∠BAQ=90°，四边形ABPQ是正方形，
故在抛物线（对称轴右侧）上存在点P（2，1）、Q（1，-1），使四边形ABPQ是正方形．
（3）结论②

BF

AF

=

BG

AG

成立，
证明如下：连EF，过F作FM∥BG交AB的延长线于M，则△AMF∽△ABG，
∴

MF

AF

=

BG

AG

由（1）知△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1=∠2=45°
∵AF=AE
∴∠AEF=∠1=45°，
∴∠EAF=90°，
∴EF是⊙O的直径．
∴∠EBF=90°，
∵FM∥BG，
∴∠MFB=∠EBF=90°，∠M=∠2=45°，
∴BF=MF，
∴

BF

AF

=

BG

AG

．