Question

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图所示）．将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B（AB）方向平移（点A，D₁，D₂，B始终在同一直线上），当点D₁于点B重合时，停止平移．在平移过程中，C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．
（1）当△AC₁D₁平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D₁E与D₂F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D₂D₁为x，△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值使得y=

1

4

S_△ABC；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）D₁E=D₂F．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁
∴∠C₁=∠A，
∴∠AFD₂=∠A
∴AD₂=D₂F．
同理：BD₁=D₁E．
又∵AD₁=BD₂，
∴AD₂=BD₁．
∴D₁E=D₂F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10．
即AD₁=BD₂=C₁D₁=C₂D₂=5
又∵D₂D₁=x，
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x．
∴C₂F=C₁E=x
在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距离就是△ABC的AB边上的高，为

24

5

．
设△BED₁的BD₁边上的高为h，
由探究，得△BC₂D₂∽△BED₁，
∴

h

24 5

=

5-x

5

．
∴h=

24(5-x)

25

．S_△BED1=

1

2

×BD₁×h=

12

25

（5-x）²
又∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90度．
又∵∠C₂=∠B，sinB=

4

5

，cosB=

3

5

．
∴PC₂=

3

5

x，PF=

4

5

x，S_△FC2P=

1

2

PC₂×PF=

6

25

x²
而y=S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P=

1

2

S_△ABC-

12

25

（5-x）²-

6

25

x²
∴y=-

18

25

x²+

24

5

x（0≤x≤5）．

（3）存在．
当y=

1

4

S_△ABC时，即-

18

25

x²+

24

5

x=6，
整理得3x²-20x+25=0．
解得，x₁=

5

3

，x₂=5．
即当x=

5

3

或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的

1

4

．