Question

17．如图是长度为10米，直径为2米的水管的截面，若水管积水深度为0.5米，则水管中共积水$\frac{10π}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{2}$ 立方米．（保留π和根号）

Answer 1

分析 设水管的截面的圆心为O，水面为AB，连接OA，OB，过点O作OE⊥AB，交⊙O于F，则EF=0.5m，进一步求得OE=0.5m，解直角三角形求得∠OAB=30°，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠AOB=120°，根据垂径定理，即可求得AB的值，然后根据S_弓形=S_扇形-S_△AOB，即可求得弓形的面积，进而求得水管中共积水的体积．

解答 解：连接OA，OB，过点O作OE⊥AB，交⊙O于F，则EF=0.5m
∵水管的直径为2米，
∴AO=FO=1m，
∵EF=0.5m，
∴OE=0.5m，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA，
∴∠OAB=30°，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠AOB=120°，
∴AB=$\sqrt{3}$，
∴S_弓形=S_扇形-S_△AOB=$\frac{120π×{1}^{2}}{360}-\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴水管中共积水：（$\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$）×10=$\frac{10π}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{2}$（立方米），
故答案为$\frac{10π}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{2}$

点评 此题主要考查了垂径定理的应用，解直角三角形，扇形面积，此类题要构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后解直角三角形进行计算．