Question

【题目】已知：正方形ABCD的边长为4，点E为BC的中点，点P为AB上一动点，沿PE翻折△BPE得到△FPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G，联接EQ．

（1）如图，当BP=1.5时，求CQ的长；
（2）如图，当点G在射线AD上时，BP=x，DG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）延长EF交直线AD于点H，若△CQE与△FHG相似，求BP的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由翻折性质，可知PE为∠BPQ的角平分线，且BE=FE．

∵点E为BC中点，

∴EC=EB=EF，

∴QE为∠CQP的角平分线．

∵AB∥CD，

∴∠BPQ+∠CQP=180°，即2∠EPQ+2∠EQP=180°，

∴∠EPQ+∠EQP=90°，

∴∠PEQ=90°，即PE⊥EQ．

易证△PBE∽△ECQ，

∴ ，即 ，

解得：CQ=

（2）

解：由（1）知△PBE∽△ECQ，

∴ ，即 ，

∴CQ= ，∴DQ=4﹣ ．

∵QD∥AP，∴ ，又AP=4﹣x，AG=4+y，

∴ ，

∴y= （1＜x＜2）

（3）

解：由题意知：∠C=90°=∠GFH．

①当点G在线段AD的延长线上时，如答图1所示．

由题意知：∠G=∠CQE

∵∠CQE=∠FQE，

∴∠DQG=∠FQC=2∠CQE=2∠G．

∵∠DQG+∠G=90°，

∴∠G=30°，

∴∠BEP=∠CQE=∠G=30°，

∴BP=BEtan30°= ；

②当点G在线段DA的延长线上时，如答图2所示．

由题意知：∠FHG=∠CQE．

同理可得：∠G=30°，

∴∠BPE=∠G=30°，

∴∠BEP=60°，

∴BP=BEtan60°=2 ．

综上所述，BP的长为 或2

【解析】（1）首先确定∠PEQ=90°，即PE⊥EQ，然后利用△PBE∽△ECQ，列出比例式求出CD的长度；（2）根据△PBE∽△ECQ，求出DQ的表达式；由QD∥AP，列出比例式求解；（3）本问分两种情形，需要分类讨论，避免漏解．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的判定与性质，需要了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．