题目内容
【题目】已知：正方形ABCD的边长为4，点E为BC的中点，点P为AB上一动点，沿PE翻折△BPE得到△FPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G，联接EQ．
（1）如图，当BP=1.5时，求CQ的长；
（2）如图，当点G在射线AD上时，BP=x，DG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）延长EF交直线AD于点H，若△CQE与△FHG相似，求BP的长．
【答案】
（1）
解：由翻折性质，可知PE为∠BPQ的角平分线，且BE=FE．
∵点E为BC中点，
∴EC=EB=EF，
∴QE为∠CQP的角平分线．
∵AB∥CD，
∴∠BPQ+∠CQP=180°，即2∠EPQ+2∠EQP=180°，
∴∠EPQ+∠EQP=90°，
∴∠PEQ=90°，即PE⊥EQ．
易证△PBE∽△ECQ，
∴ 
，即 
，
解得：CQ= 
（2）
解：由（1）知△PBE∽△ECQ，
∴ ，即 
，
∴CQ= 
，∴DQ=4﹣ ．
∵QD∥AP，∴ 
，又AP=4﹣x，AG=4+y，
∴ 
，
∴y= 
（1＜x＜2）
（3）
解：由题意知：∠C=90°=∠GFH．
①当点G在线段AD的延长线上时，如答图1所示．
由题意知：∠G=∠CQE
∵∠CQE=∠FQE，
∴∠DQG=∠FQC=2∠CQE=2∠G．
∵∠DQG+∠G=90°，
∴∠G=30°，
∴∠BEP=∠CQE=∠G=30°，
∴BP=BEtan30°= 
；
②当点G在线段DA的延长线上时，如答图2所示．
由题意知：∠FHG=∠CQE．
同理可得：∠G=30°，
∴∠BPE=∠G=30°，
∴∠BEP=60°，
∴BP=BEtan60°=2 
．
综上所述，BP的长为 或2
【解析】（1）首先确定∠PEQ=90°，即PE⊥EQ，然后利用△PBE∽△ECQ，列出比例式求出CD的长度；（2）根据△PBE∽△ECQ，求出DQ的表达式；由QD∥AP，列出比例式求解；（3）本问分两种情形，需要分类讨论，避免漏解．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的判定与性质，需要了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．
