Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，4）．

（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，当 MN的值最大时，求△BMN的周长．
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1 ， △ABN的面积为S2 ， 且S1=4S2 ， 求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设直线BC的解析式为y=mx+n，

将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入，

得， ，

∴

所以直线BC的解析式为y=﹣x+4；

将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入y=x2+bx+c，

得， ，

∴

所以抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4

（2）

解：如图1，

设M（x，x2﹣5x+4）（1＜x＜4），则N（x，﹣x+4），

∵MN=（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴当x=2时，MN有最大值4；

∵MN取得最大值时，x=2，

∴﹣x+4=﹣2+4=2，即N（2，2）．

x2﹣5x+4=4﹣5×2+4=﹣2，即M（2，﹣2），

∵B（4.0）

可得BN=2 ，BM=2

∴△BMN的周长=4+2 +2 =4+4

（3）

解：令y=0，解方程x2﹣5x+4=0，得x=1或4，

∴A（1，0），B（4，0），

∴AB=4﹣1=3，

∴△ABN的面积S2=×3×2=3，

∴平行四边形CBPQ的面积S1=4S2=12．

如图2，

设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．

∵BC=4 ，

∴BCBD=12，

∴BD= ．

过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，连接CQ，则四边形CBPQ为平行四边形．

∵BC⊥BD，∠OBC=45°，

∴∠EBD=45°，

∴△EBD为等腰直角三角形，由勾股定理可得BE= BD=3，

∵B（4，0），

∴E（1，0），

设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，

将E（1，0），代入，得﹣1+t=0，解得t=1

∴直线PQ的解析式为y=﹣x+1．

解方程组， ，

得， 或 ，

∵点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，

∴点P的坐标为P（3，2）

【解析】（1）直接用待定系数法求出直线和抛物线解析式；（2）先求出最大的MN，再求出M，N坐标即可求出周长；（3）先求出△ABN的面积，进而得出平行四边形CBPQ的面积，从而求出BD，联立方程组求解即可．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．