Question

【题目】在Rt△ACB中，∠C=90°，点O是AB的中点，点M，N分别在边AC，BC上，OM⊥ON，连MN，AC=4，BC=8，设AM=a，BN=b，MN=c．

（1）求证：a2+b2=c2；
（2）①若a=1，求b；②探究a与b的函数关系；
（3）△CMN面积的最大值为（不写解答过程）

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，过点B作BE∥AC交MO的延长线于E，连接NE．

∵AM∥BE，

∴∠A=∠OBE，

在△AOM和△BOE中，

，

∴△AOM≌△BOE，

∴MO=OE，AM=BE=a，

∵OM⊥ON，

∴MN=NE=c，

∵∠C=90°

∴∠A+∠ABC=90°，

∴∠OBE+∠ABC=90°，

∴∠EBN=90°，

∴NE2=BN2+BE2，

∵NE=c，BE=a，BN=b，

∴a2+b2=c2

（2）①在RT△MNC中，MN2=CM2+CN2，

∴c2=（4﹣a）2+（8﹣b）2，∵a=1，a2+b2=c2，

∴9+（8﹣b）2=1+b2，

∴b=

②∵c2=（4﹣a）2+（8﹣b）2=a2+b2，

∴a+2b=10

（3）
【解析】（3）S△CMN= （4﹣a）（8﹣b）=﹣b2+11b﹣24=﹣（b﹣ ）2+ ，∴当b= 时，S△CMN最大值= ．
所以答案是 ．

【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．