题目内容
如图1,以矩形ABCD的顶点A为原点,AD所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.点D的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),点F在对角线AC上运动(点F不与点A、C重合),过点F分别作x轴、y轴的垂线,垂足为G、E.设四边形BCFE的面积为S1,四边形CDGF的面积为S2,△AFG的面积为S3.
(1)试判断S1,S2的关系,并加以证明;
(2)当S3:S2=1:3时,求点F的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,把△AEF沿对角线AC所在直线平移,得到△A′E′F′,且A′,F′两点始终在直线AC上,是否存在这样的点E′,使点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5:4?若存在,请求出点E′的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)试判断S1,S2的关系,并加以证明;
(2)当S3:S2=1:3时,求点F的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,把△AEF沿对角线AC所在直线平移,得到△A′E′F′,且A′,F′两点始终在直线AC上,是否存在这样的点E′,使点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5:4?若存在,请求出点E′的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)S1=S2;
证明:∵FE⊥y轴,FG⊥x轴,∠BAD=90°,
∴四边形AEFG是矩形.
∴AE=GF,EF=AG.
∴S△AEF=S△AFG,
同理S△ABC=S△ACD.
∴S△ABC-S△AEF=S△ACD-S△AFG.
即S1=S2.
(2)∵FG∥CD,
∴△AFG∽△ACD.
∴
=(
)2=(
)2=
=
.
∴FG=
CD,AG=
AD.
∵CD=BA=6,AD=BC=8,
∴FG=3,AG=4.
∴F(4,3);
(3)∵△A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的,且A′、F′两点始终在直线AC上,
∴点E′在过点E(0,3)且与直线AC平行的直线l上移动.
∵直线AC的解析式是y=
x,
∴直线L的解析式是y=
x+3.
设点E′为(x,y),
∵点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5:4,
∴|y|:|x|=5:4.
①当x、y为同号时,得
解得
,
∴E′(6,
);
②当x、y为异号时,得
解得
,
∴E′(-
,
).
∴存在满足条件的E′坐标分别是(6,
)、(-
,
).
证明:∵FE⊥y轴,FG⊥x轴,∠BAD=90°,
∴四边形AEFG是矩形.
∴AE=GF,EF=AG.
∴S△AEF=S△AFG,
同理S△ABC=S△ACD.
∴S△ABC-S△AEF=S△ACD-S△AFG.
即S1=S2.
(2)∵FG∥CD,
∴△AFG∽△ACD.
∴
S3 |
S3+S2 |
FG |
CD |
AG |
AD |
1 |
1+3 |
1 |
4 |
∴FG=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵CD=BA=6,AD=BC=8,
∴FG=3,AG=4.
∴F(4,3);
(3)∵△A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的,且A′、F′两点始终在直线AC上,
∴点E′在过点E(0,3)且与直线AC平行的直线l上移动.
∵直线AC的解析式是y=
3 |
4 |
∴直线L的解析式是y=
3 |
4 |
设点E′为(x,y),
∵点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5:4,
∴|y|:|x|=5:4.
①当x、y为同号时,得
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∴E′(6,
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2 |
②当x、y为异号时,得
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∴E′(-
3 |
2 |
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∴存在满足条件的E′坐标分别是(6,
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2 |
3 |
2 |
15 |
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