题目内容
【题目】如图，A（0，2），B（6，2），C（0，c）（c＞0），以A为圆心AB长为半径的
交y轴正半轴于点D，与BC有交点时，交点为E，P为上一点．
（1）若c＝6
+2，
①BC＝ ，
的长为 ；
②当CP＝6
时，判断CP与⊙A的位置关系，井加以证明；
（2）若c＝10，求点P与BC距离的最大值；
（3）分别直接写出当c＝1，c＝6，c＝9，c＝11时，点P与BC的最大距离（结果无需化简）
【答案】（1）①12，π；②详见解析；（2）①
；②（3）答案见详解
【解析】
（1）①先求出AB，AC，进而求出BC和∠ABC，最后用弧长公式即可得出结论；②判断出△APC是直角三角形，即可得出结论；
（2）分两种情况，利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论；
（3）画图图形，同（2）的方法即可得出结论．
（1）①如图1，
∵c＝6
+2，
∴OC＝6+2，
∴AC＝6+2﹣2＝6，
∵AB＝6，
在Rt△BAC中，根据勾股定理得，BC＝12，tan∠ABC＝
＝，
∴∠ABC＝60°，
∵AE＝AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴
的长为
＝π，
故答案为：12，π；
②CP与⊙A相切．
证明：∵AP＝AB＝6，AC＝OC﹣OA＝6，
∴AP2+CP2＝108，
又AC2＝（6）2＝108，
∴AP2+PC2＝AC2．
∴∠APC＝90°，即：CP⊥AP．
而AP是半径，
∴CP与⊙A相切．
（2）若c＝10，即AC＝10﹣2＝8，则BC＝10．
①若点P在
上，AP⊥BE时，点P与BC的距离最大，设垂足为F，
则PF的长就是最大距离，如图2，
S△ABC＝
AB×AC＝BC×AF，
∴AF＝
＝
，
∴PF＝AP﹣AF＝；
②如图3，若点P在上，作PG⊥BC于点G，
当点P与点D重合时，PG最大．
此时，sin∠ACB＝
，
即PG＝
＝
∴若c＝10，点P与BC距离的最大值是；
（3）当c＝1时，如图4，
过点P作PM⊥BC，sin∠BCP＝
∴PM＝
=
；
当c＝6时，如图5，同c＝10的①情况，PF＝6﹣
=
，
当c＝9时，如图6，同c＝10的①情况，PF＝
，
当c＝11时，如图7，
点P和点D重合时，点P到BC的距离最大，同c＝10时②情况，DG＝
．
